9.7 堆
问题 A: 算法10-10,10-11：堆排序
题目描述
堆排序是一种利用堆结构进行排序的方法，它只需要一个记录大小的辅助空间，每个待排序的记录仅需要占用一个存储空间。
首先建立小根堆或大根堆，然后通过利用堆的性质即堆顶的元素是最小或最大值，从而依次得出每一个元素的位置。
堆排序的算法可以描述如下：
在本题中，读入一串整数，将其使用以上描述的堆排序的方法从小到大排序，并输出。
输入
输入的第一行包含1个正整数n，表示共有n个整数需要参与排序。其中n不超过100000。
第二行包含n个用空格隔开的正整数，表示n个需要排序的整数。
输出
只有1行，包含n个整数，表示从小到大排序完毕的所有整数。
请在每个整数后输出一个空格，并请注意行尾输出换行。
样例输入
10
2 8 4 6 1 10 7 3 5 9
样例输出
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
思路
这题我直接用了<algorithm>头文件里的make_heap()（建堆）和sort_heap()（对堆排序），需要注意的是，make_heap()默认建立的是大顶堆，而且使用sort_heap()之后会失去堆的性质。
The range loses its properties as a heap. ——《C++ Reference》
代码
#include<cstdio>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<iostream>
using namespace std;
vector<int> Heap;
int main(){
int n;
while(scanf("%d", &n) != EOF){
for(int i=1;i<=n;i++){
int tmp;
scanf("%d", &tmp);
Heap.push_back(tmp);
}
make_heap(Heap.begin(), Heap.end());
sort_heap(Heap.begin(), Heap.end());
for(int i=0;i<Heap.size();i++) printf("%d ", Heap[i]);
printf("\n");
Heap.clear();
}
return 0;
}
问题 B: 序列合并
题目描述
有两个长度都为N的序列A和B，在A和B中各取一个数相加可以得到N2个和，求这N2个和中最小的N个。
输入
第一行一个正整数N（1 <= N <= 100000）。
第二行N个整数Ai，满足Ai <= Ai+1且Ai <= 109
第三行N个整数Bi，满足Bi <= Bi+1且Bi <= 109
输出
输出仅有一行，包含N个整数，从小到大输出这N个最小的和，相邻数字之间用空格隔开。
样例输入
3
2 6 6
1 4 8
样例输出
3 6 7
提示
建议用最小堆实现。
思路
这题感觉判题机怪怪的，要求的时间限制是1s，也就是1000ms，然而2000ms多也能AC，最奇怪的是，在判断语句里我这么写就会超时（5000多ms）：
int sum = seqA[i]+seqB[j];
if(sum<q.top()){//如果比队首元素更小
q.pop(); //弹出原先的队首元素
q.push(sum);//放入优先队列里
}
而这么写就AC了：
if(seqA[i]+seqB[j]<q.top()){//如果比队首元素更小
q.pop(); //弹出原先的队首元素
q.push(seqA[i]+seqB[j]);//放入优先队列里
}
网上搜了一下，应该是局部变量的声明会增加耗时（但是差这么多也太夸张了吧……），而全局变量和静态变量不会。
另外，这题想不到怎么直接用堆来写不超时（就算采用大佬的方法优化了判断大小的算法，还存在一个堆排序的问题，因为就算是大顶堆，也只能保证根结点的值比左右孩子大，但是并不能保证左右孩子是有序的，因此在处理完之后的堆里，并不直接就是我们要的答案，还需要经过堆排序，但是这种操作一定是会超时的……），然后参考了网上各位大佬的代码，发现都是用优先队列做的，不过既然优先队列底部就是堆，那用优先队列应该也算堆操作吧……
这一题的算法比较机智，我参考了【慢浸天空的雨色】，简单的来讲就是先让A序列的第一个数去依次加上B序列的所有数，然后就得到了存放N个和的优先队列（这里的优先队列是默认的，也就是最大的数在队首），之后，再让A序列的第二个数去依次加上B序列的所有数，并判断，如果加出来的和比队首元素还小（我们要得到的是尽可能都是小的数的这样一个队列，因此需要剔除大数），那就让队首元素出队，让那个数入队，这里有一个很重要的地方是，如果加出来的和大于等于队首元素，那么直接break掉（这里是利用了两个序列都是非递减序列的特性，如果当前之和已经较大了，往后循环只会更大，所以加上这句话可以让耗时减少一倍）。
最后处理完之后，得到的就是一个从大到小排列的优先队列，因为队列里肯定是N个数，因此只要倒着赋给一个数组ans，再正着输出这个数组就是答案了（我想过利用栈的特性来存储，结果依然是超时了……）。
代码
#include<cstdio>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn = 100001;
priority_queue<int> q;
int seqA[maxn]={0};
int seqB[maxn]={0};
int ans[maxn]={0};//不要用stack存储,会超时
int main(){
int N;
while(scanf("%d", &N) != EOF){
int len = 0;
for(int i=0;i<N;i++) scanf("%d", &seqA[i]);
for(int i=0;i<N;i++){
scanf("%d", &seqB[i]);
q.push(seqA[0]+seqB[i]);//将序列A的第一个元素与序列B的每个元素相加,得到的数入队
}
for(int i=1;i<N;i++){
for(int j=0;j<N;j++){
if(seqA[i]+seqB[j]<q.top()){//如果比队首元素更小
q.pop(); //弹出原先的队首元素
q.push(seqA[i]+seqB[j]);//放入优先队列里
}
else break;//因为都是非递减序列,如果当前不满足<q.top(),后面更大的数自然也不满足
}
}
for(int i=N-1;i>=0;i--){
ans[i] = q.top();
q.pop();
}
for(int i=0;i<N;i++){
if(i==0) printf("%d", ans[i]);
else printf(" %d", ans[i]);
}
printf("\n");
memset(seqA, 0, sizeof(seqA));
memset(seqB, 0, sizeof(seqB));
memset(ans, 0, sizeof(ans));
}
return 0;
}
问题 C: 合并果子（堆）
题目描述
在一个果园里，多多已经将所有的果子打了下来，而且按果子的不同种类分成了不同的堆。多多决定把所有的果子合成一堆。
每一次合并，多多可以把两堆果子合并到一起，消耗的体力等于两堆果子的重量之和。可以看出，所有的果子经过n-1次合并之后，就只剩下一堆了。多多在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。
因为还要花大力气把这些果子搬回家，所以多多在合并果子时要尽可能地节省体力。假定每个果子重量都为1，并且已知果子的种类数和每种果子的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使多多耗费的体力最少，并输出这个最小的体力耗费值。
例如有3种果子，数目依次为1，2，9。可以先将 1、2堆合并，新堆数目为3，耗费体力为3。接着，将新堆与原先的第三堆合并，又得到新的堆，数目为12，耗费体力为 12。所以多多总共耗费体力=3+12=15。可以证明15为最小的体力耗费值。
输入
输入文件fruit.in包括两行，第一行是一个整数n（1 <= n <= 30000），表示果子的种类数。第二行包含n个整数，用空格分隔，第i个整数ai（1 <= ai <= 20000）是第i种果子的数目。
输出
输出文件fruit.out包括一行，这一行只包含一个整数，也就是最小的体力耗费值。输入数据保证这个值小于231。
样例输入
10
3 5 1 7 6 4 2 5 4 1
样例输出
120
提示
上传者：吕红波
思路
受到上一题的启发，这题做的还是比较快的，直接用优先队列（这里要设置数字小的优先级大，因此声明时要写greater<int>，这和用make_heap()函数形成小顶堆的方式是一样的），然后每次出队两个小数字num1、num2，把它们加起来累计到消耗总体力sum里（sum += num1+num2），然后再把它们的和重新入队（因为这个操作意味着把两个小堆合并成了一个大堆，因此还需要入队）。
至于循环的终止条件，既可以用for循环写for(int i=1;i<=n-1;i++)（因为题目也说了经过n-1次合并之后，就只剩一个堆了），也可以写while(q.size()>1)（因为队列里的每个元素是堆，当q.size()==1时就代表只剩一个果子堆了，所以只要q.size()>1时就说明还有两个及以上的果子堆，就要执行循环）。
代码
#include<cstdio>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<iostream>
using namespace std;
priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > q;
int main(){
int n;
while(scanf("%d", &n) != EOF){
for(int i=1;i<=n;i++){
int tmp;
scanf("%d", &tmp);
q.push(tmp);
}
int sum = 0;
while(q.size()>1){//因为队列里放的是果子堆,目标是合成一个大堆,所以当q.size()==1时停止循环
int num1 = q.top();
q.pop();
int num2 = q.top();
q.pop();
sum += num1+num2;//先把两个小的果子堆合并
q.push(num1+num2);//再把它入队，表明这是一个合并好的大堆
}
printf("%d\n", sum);
q.pop();//把最后一个堆出队
}
return 0;
}
小结
虽然用优先队列解决这类题目非常方便，并且做题的时候第一选择肯定也是用优先队列（用人家造好的轮子），既非常方便，又避免了因为自己写堆操作而导致的错误（从这里可以看出STL的优先队列确实比<algorithm>里的make_heap()方便很多），可以更好地把自己的注意力放在解决问题的逻辑性方面。但是，堆作为一个重要的数据结构，是树的一个分支（堆是一棵完全二叉树），还是需要我们好好理解它的实现方式的，就算不造轮子，我们至少也要把这个别人造的好轮子好好欣赏一下，是叭？
