关于数的表示和运算（进制转换）

进制转换作为计算机入门基础知识，无论是计算机基础课，还是其它和0、1有关的学科都会涉及当进制转换问题，例如数字电路。能不能学计算机，在计算机行业恰饭，进制转换就是第一道门槛。

一、数值的表示

1. 计数值
   按一定进位原则进行计数的方法称为计数制，也称为数值。对任意的进制数x,可以用下式表示为：
   
   看这一串公式，我选择放弃。同学，你不适合读书，还是另选出路吧。
   

① a_i为数码，每一种进制数都由固定的数字符号来表示，这个符号称为：数码。
不懂，还有救吗？
你需知道：
二进制有2个数码：0和1；
八进制有8个数码：0、1、2、3、4、5、6和7；
十进制有10个数码：0~9（这个不用说了);
十六进制有16个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E和F（字母不区分大小写）。

也就是说某某进制就有某某个数码，但你知道它们第一个数都是从0开始的，十到十五采用字母替代，主要是为了展现十六进制的个性。

②i为数位，数位是指数码在一个数中所处的位置。
例如：八进制123.123，从左到右的数位分别为：2、1、0、-1、-2、-3。
③r为基数，基数是指在某计数制中，每个数位上能使用的数码个数。
一句话什么进制什么基数。
例如二进制的基数就是2；八进制的基数就是8。
④rⁱ为权，权是基数的幂，这个幂次由数位决定。
例如八进制123.123，第二位的权1×8²。

2. 计算机中常用的计数制
   进制表示方式：
   ①用括号将数字括起，后面加数制区分。例如八进制(112)₈。
   ②用后缀区分，二进制、十进制、八进制、十六进制后缀分别为B、D、O和H（注：不区分大小写）。

二、进制转换
①其它进制转换为十进制
任何进制转换成十进制都特别简单，按权展开即可。
例如：

②十进制转换为其它进制
常用的有降幂法和乘除法。两种方法其实是一样的，个人认为只要计算能力够强，何必在乎在些呢？
所以我们就不按常理出牌，用自己的方法来计算。
例如：62D转换为二进制。
62和64（2⁶）比较接近，大于32(2⁵)。那么62转换为二进制一定会有100,000，62-32=30;2⁴=16,就有110,000；同理，14>2³，则111,000，剩余6；我们知道6的二进制数为110。那么62转换为二进制为111,110。
如果有小数怎么办？
乘法。例如：0.5转换为二进制。0.5×2=1，则0.5转化为二进制为0.1。
十进制转换八进制、十六进制也是同样的方法。
③二进制和八进制的转换
一位八进制需用上3位二进制。
例如：(110)₈=(001,001,000)₂;最左边应该从非零数字开始，如果是带符号进制另说，(110)₈=(1001000)₂。
④二进制转换十六进制
同理，一位十六进制需用上4位二进制。

三、运算
啥进制就是逢啥进一。例如：二进制，逢二进一。

1、 无符号运算
无符号进制数就是不用管正负号，无符号其实它根本就没有正负号。
①算术运算就是加减乘除和数学中类似。但一定要清楚逢啥进啥。如果你确实搞不清楚就先换算成十进制运算得出结果后再换算。
②逻辑运算
与(AND):∧，有零相与为0，非零相与为1；
或(OR):∨,双零为0，否则为1；
非(NOT):﹣,非零为1，非1为0；
异或(XOR):⊕，相同为0，相反为1。

2、带符号二进制数的表示
你能看到此处，真的是不容易。
你只需知道带符号即最左边第一个数为符号位，0为正数，1为负数。
带符号数分为原码，反码和补码。
其中正数的反码、补码和原码相同。
而负数的反码需要除符号位按位取反，即0变1,1变0；补码则需加1。
原码：1111,0011
反码：1000,1100
补码：1000,1101

四、补码加减溢出
溢出字面意思就是超过容器的容量，装不下的一部分流失了。
例如：字长为8位的-64D+64D=0,[-64]_补=1100 0000;[64]_补=0100 0000，相加结果为1 0000 0000，结果为9位，进位1肯定是保不住了，就是溢出了。
判断溢出有两种方法：
①利用符号判别结果是否溢出

若两个同号数相加，结果的符号与之相反，则溢出。
若两个异号数相减，结果的符号与减数相同，则溢出。
若两个异号相加或两个同号相减，则不溢出。

②利用运算过程中进位产生情况判别运算结果是否溢出

若次高位和最高位不同时产生进位或错位，则溢出。
若次高位和最高都产生进位或错位，则不溢出。

五、BCD码的表示与运算
BCD码是二进制编码的十进制数的简称。用4位二进制来表示十进制中的0~9。
①压缩8421BCD码的加、减运算（十进制一位变为四位二进制）
例如:16D+18D：
00010110+00011000=0010 1110。
压缩8421BCD运算的十进制调整规则如下：

⑴加法运算后十进制调整规则
若加法和的个位大于9或向十位有进位，则需要“加06H调整”，即所得和要加上00000110B；
若加法和十位大于9或向百位有进位，则需要“加60H调整”，即所得和要加上01100000B。
⑵减法运算后的十进制调整规则
若减法差的个位大于9或向十位有借位，则需要“减06H调整”，即所得要减去0000 0110B；
若减法差的十位大于9或向百位有进位，则需要“减60H”，即所得差要减去0110 0000B。

②非压缩8421BCD码的加、减运算（十进制一变为八位二进制）
假设任一非压缩BCD码表示为d₇d₆d₅d₄d₃d₂d₁d₀,则进行加/减运算时，若和/差大于9或d₃位向d₄位有进位/借位时，就要进行十进制调整操作。
将d₄ ~ d₀位清零，即所得值与1111 1111 0000 1111相与。