一.闲谈
这次比赛真惨，B题我的数据分块被卡了，只有75分qwq，C题打分块和线段树都被卡了，我好难啊。。。
然后，看了下D题，emmm算了下一题，一看E题，哇数论题，于是操起草稿纸开干了。。。
二.题解
题目叫你求长度为n的序列，且数列元素为[1,k]的整数，且同时存在严格上升和严格下降的两个位置的序列的个数。
我一开始打算直接正着做，发现很不好搞，于是，正难则反嘛。。。我们就反着做
Ans=所有方案数-不同时存在严格上升和严格下降的序列数
注意到，所有方案数就是\(k^n\),这个可以直接跑一遍卡速米
然后，我们就是要求后面那一节了。
我们发现，不同时存在严格上升和严格下降的序列一定满足：
对于\(\forall i\in[2,n]a_i<=a_{i-1}或者\forall i\in[2,n]a_i>=a_{i-1}\)
那么，我们只需要统计这两个就好了。
注意到，这两种方案中，其中一种的倒序一定满足另一种，所以我们只需要求出一种的方案数x，另一种的的方案数便一定也是x了，不过，当所有\(a_i\)取相同值的时候，会同时满足两个序列，所以两种的方案数之和应再减k
现在就是如何求其中一种的方案了
一开始，我不想算了，直接打了一组表：
n k ans
2 1 1 C(2,2)
2 2 3 C(3,2)
2 3 6 C(4,2)
2 4 10 C(5,2)
3 1 1 C(3,3)
3 2 4 C(4,3)
3 3 10 C(5,3)
3 4 20 C(6,3)
4 1 1 C(4,4)
4 2 5 C(5,4)
4 3 15 C(6,4)
4 4 35 C(7,4)
经过观测发现，这不就是k维前缀和有规律的组合数嘛？
找下规律就会发现，方案数就等于C(n+k-1,n)=C(n+k-1,k-1)
我们来理解下公式的意义：
现在我们求的是有n个数满足这n个数都属于\([1,k]\)且严格不下降(或者严格不上升)的方案数
其实公式的意义就相当于，我们先挖n+k-1个空，再从这些空里面选出k-1个空作为“隔板”
开头到第一个隔板之间的空填1，第一个隔板到第二个隔板填2。。。第k-1个隔板和末尾之间填k
这样，我们就成功的获得了一个长度为n(剩余n个空填数)，严格不下降(每个隔板段中填的数依次递增)的方案数。(由于两个隔板可能相邻，所以，也有些数其实没有空填，所以所有方案都包含在内)
现在我们来解题
首先我们转换成公式形式：
\(Ans=\frac{(n+k-1)!}{n!*(k-1)!}\)
约分一下：
\(Ans=\frac{\prod_{i=n+1}^{n+k-1}i}{(k-1)!}\)
读题的范围：\(k<=10^6,\sum k<=3*10^7\)
所以，我们直接先O(n)预处理出\(1-10^6的阶乘的逆元\)再在每次询问时，暴力计算答案的分子，最后直接处理答案即可~
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=998244353,N=1e6+1;
int n,k;
int ni[N],sp[N];
inline int ksm(int x,int y){
int ans=1;
while(y){
if(y&1){
ans=(1LL*ans*x)%mod;
}
x=(1LL*x*x)%mod;
y>>=1;
}
return ans%mod;
}
int main(){
ni[1]=1,sp[0]=sp[1]=1;
for(int i=2;i<N;++i){
ni[i]=(1LL*ni[mod%i]*(mod-mod/i))%mod;
sp[i]=(1LL*sp[i-1]*ni[i])%mod;
}
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d%d",&n,&k);
if(k==1){//特判1
puts("0");
continue;
}
int tot=ksm(k,n);
tot=(tot+k)%mod;
int kil;
if(k==2){
kil=(n+1)%mod;
}else{
long long X=k+(n-1),Y=n;
kil=1;
for(int i=Y+1;i<=X;++i){
kil=(1LL*kil*i)%mod;
}
kil=(1LL*kil*sp[k-1])%mod;
}
tot-=(kil*2)%mod;
tot=(tot%mod+mod)%mod;
printf("%d\n",tot);
}
return 0;
}