【HDU 6326】 暑期多校day3 Monster Hunter （贪心）

题目大意

给定一棵 n 个点的树，除 1 外每个点有一只怪兽，打败它需要先消耗 ai 点 HP，再恢复 bi 点 HP。
求从 1 号点出发按照最优策略打败所有怪兽一开始所需的最少 HP。 $(2 ≤ n ≤ 10^5)$

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解题思路

以 1 为根将树转化成有根树，那么每只怪兽要在父亲怪兽被击败后才能被击败。
考虑简化版问题：忽略父亲的限制，求最优的攻击顺序。
将怪兽分成两类：a < b 的和 a ≥ b 的，前一类打完会加血，后一类打完会扣血，显然最优策略下应该先打第一类再打第二类。
对于 a < b 的怪兽，显然最优策略下应该按照 a 从小到大打。
对于 a ≥ b 的怪兽，考虑两只怪兽 i, j，先打 i 再打 j 的过程中血量会减少到 HP + min(−ai, −ai + bi − aj)，因为 a ≥ b，所以这等于 HP − ai − aj + bi。同理先打 j 再打 i 的过程中血量会减少到 HP − ai − aj + bj。
可以发现按照任何顺序都只和 b 有关，最优策略下需要让血量尽可能多，因此要按照 b 从大到小打。
如此可以 O(1) 比较任意两只怪兽应该先打谁，从而得到最优攻击顺序。
考虑原问题，求出忽略父亲限制后最优攻击顺序 p1 , p2 , …, pn。
若 p1 = 1，那么第一步打 p1 一定最优。
若 p1 ̸= 1，那么在打完 p1 的父亲 x 后，紧接着打 p1 一定最优。直接将 p1 和 x 两只怪兽合并，依然用 (a, b) 表示，并将 p1 所有儿子的父亲改为 x 即可消除 p1 的影响。
上面两步将规模为 n 的问题化成了规模为 n − 1 的问题，重复操作直到只剩下一只怪兽即可求出最少所需血量。
需要高效支持修改一个怪兽，删除最优怪兽，以及修改父亲
的操作。
对于最优怪兽，可以用堆维护；对于修改父亲，可以用并查集维护。
时间复杂度 $O(n log n)$。

by cls

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代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define mp make_pair
#define x first
#define y second
const int maxn=int(1e5)+111;

struct info {
    long long a,b;
    bool operator < (const info &rhs) const {
        if(a<=b && rhs.a>rhs.b) return true;
        if(a>b && rhs.a<rhs.b) return false;
        if(a<=b && rhs.a<=rhs.b) return a<rhs.a;
        if(a>b && rhs.a>rhs.b) return b>rhs.b;
        return false;
    }
    info operator + (const info &rhs) const {
        info R;
        R.a=max(a,a-b+rhs.a);
        R.b=R.a+(b+rhs.b)-(a+rhs.a);
        return R;
    }
}p[maxn];

typedef pair<info,int> sta;
int T,n;
vector<int> to[maxn];
int fa[maxn], f[maxn];
set<sta> st;

inline int find(const int &k) {
    int p=k;
    while(p^f[p]) p=f[p];
    return f[k]=p;
}

void dfs(int u,int last) {
    fa[u]=last;
    for(int i=0;i<(int)to[u].size();++i) if(to[u][i]!=last)
        dfs(to[u][i],u);
    return;
}

void init() {
    register int i;
    p[1].a=p[1].b=0;
    st.clear();
    for(i=1;i<=n;++i) {
        to[i].clear();
        f[i]=i;
    }
    return;
}

void work() {
    scanf("%d",&n);
    init();
    register int i,u,v;
    for(i=2;i<=n;++i) {
        scanf("%I64d%I64d",&p[i].a,&p[i].b);
        st.insert(mp(p[i],i));
    }
    for(i=2;i<=n;++i) {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        to[u].push_back(v), to[v].push_back(u);
    }
    dfs(1,-1);

    while(st.size()) {
        u=st.begin()->y; st.erase(st.begin());
        v=find(fa[u]);
        f[u]=v;
        if(v>1) st.erase(mp(p[v],v));
        p[v]=p[v]+p[u];
        if(v>1) st.insert(mp(p[v],v));
    }
    printf("%I64d\n",p[1].a);
    return;
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("H.in","r",stdin);
    freopen("output.txt","w",stdout);
#endif
    for(scanf("%d",&T);T;T--)
        work();

    return 0;
}