考点:
递归和循环
题目描述:
我们可以用21的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个21的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形,总共有多少种方法?
比如n=3时,2*3的矩形块有3种覆盖方法:
解题:
痛定思痛,还是不能够贪小便宜。用归纳法归纳如下,
(1)当 n < 1时,显然不需要用21块覆盖,按照题目提示应该返回 0。
(2)当 n = 1时,只存在一种情况。
(3)当 n = 2时,存在两种情况。
(4)当 n = 3时,明显感觉到如果没有章法,思维难度比之前提升挺多的。
… 尝试归纳,本质上 n 覆盖方法种类都是对 n - 1 时的扩展。
可以明确,n 时必定有 n-1时原来方式与21的方块结合。也就是说, f(n) = f(n-1) + ?(暂时无法判断)。
(4)如果我们现在归纳 n = 4,应该是什么形式?
4.1)保持原来n = 3时内容,并扩展一个 21 方块,形式分别为 “| | | |”、“= | |”、“| = |”
4.2)新增加的21 方块与临近的21方块组成 22结构,然后可以变形成 “=”。于是 n = 4在原来n = 3基础上增加了"| | ="、“= =”。
再自己看看这多出来的两种形式,是不是只比n = 2多了“=”。其实这就是关键点所在…因为,只要21或12有相同的两个时,就会组成2*2形式,于是就又可以变形了。
所以,自然而然可以得出规律: f(n) = f(n-1) + f(n-2), (n > 2)。
如果看了这一套理论还存在疑惑。可以尝试将题目改成13方块覆盖3n、14方块覆盖4n。
相应的结论应该是:
(1)1 * 3方块 覆 盖3n区域:f(n) = f(n-1) + f(n - 3), (n > 3)
(2) 1 4 方块 覆 盖4n区域:f(n) = f(n-1) + f(n - 4),(n > 4)
更一般的结论,如果用1m的方块覆盖m*n区域,递推关系式为f(n) = f(n-1) + f(n-m),(n > m)。
//非递归
class Solution {
public:
int rectCover(int number) {
if(number == 0){
return 0;
}else if(number == 1){
return 1;
}else if(number == 2){
return 2;
}else{
int result = 0;
int first = 1;
int second = 2;
for(int i = 3;i <= number;i++){
result = first + second;
first = second;
second = result;
}
return result;
}
}
};
//递归
public class Solution {
public int RectCover(int target) {
if (target < 1) {
return 0;
} else if (target == 1 || target == 2) {
return target;
} else {
return RectCover(target-1) + RectCover(target-2);
}
}
}