A - 区间选点 II
题意
给定一个数轴上的 n 个区间，要求在数轴上选取最少的点使得第 i 个区间 [ai, bi] 里至少有 ci 个点
解题思路
我们可以使用差分约束的方法来解决这道题，这道题中要求[ai,bi]间至少有ci个点，我们用sum[i]表示0-i的所有点数，则题目要求
，我们只需将其转换为
，将其转化为图，ci为a[i-1]到bi的边权，从0点开始用spfa跑最长路即可。
注意：给定的区间左端点有可能为0，所以不能使用sum[ai-1]，我们将其转换为sum[bi+1]和sum[ai]即可
代码
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define INF -1e9
int dis[50005];
bool inq[50005];
int N, a, b, c, mina, maxb;
struct edge{
int v, w;
}e1;
vector<edge> graph[50005];
void spfa(int s){
for(int i = 1; i <= maxb; i++){
dis[i] = INF;
inq[i] = 0;
}
dis[s] = 0;
inq[s] = 1;
queue<int> q;
q.push(s);
while(!q.empty()){
int u = q.front();
q.pop();
inq[u] = 0;
for(int i = 0; i < graph[u].size(); ++i){
int v = graph[u][i].v;
if(dis[v] < dis[u] + graph[u][i].w){
dis[v] = dis[u] + graph[u][i].w;
if(!inq[v]){
q.push(v);
inq[v] = 1;
}
}
}
}
}
int main()
{
scanf("%d", &N);
for(int i = 0; i < N; ++i){
scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);
maxb = max(b+1, maxb);
e1.v = b+1;//由于0<=a<=b,使用sum[b+1]保存[0,b]间的点数。
e1.w = c;
graph[a].push_back(e1);
}
for(int i = 1; i <= maxb; ++i){//添加约束0<=sum[i]-sum[i-1]<=1
e1.v = i;
e1.w = 0;
graph[i-1].push_back(e1);
e1.v = i-1;
e1.w = -1;
graph[i].push_back(e1);
}
spfa(0);
printf("%d",dis[maxb]);
return 0;
}
B - 猫猫向前冲
题意
众所周知， TT 是一位重度爱猫人士，他有一只神奇的魔法猫。
有一天，TT 在 B 站上观看猫猫的比赛。一共有 N 只猫猫，编号依次为1，2，3，…，N进行比赛。比赛结束后，Up 主会为所有的猫猫从前到后依次排名并发放爱吃的小鱼干。不幸的是，此时 TT 的电子设备遭到了宇宙射线的降智打击，一下子都连不上网了，自然也看不到最后的颁奖典礼。
不幸中的万幸，TT 的魔法猫将每场比赛的结果都记录了下来，现在他想编程序确定字典序最小的名次序列，请你帮帮他。
解题思路
这是一道拓扑排序的模板题，只是要求拓扑序列的字典序最小，我们将拓扑排序中的队列改为优先级队列即可。
代码
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
#include<functional>
using namespace std;
int indeg[505];
int n, m;
vector<int> graph[505];
bool topsort()
{
vector<int> ans;
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> q;
for(int i = 1; i <= n; ++i){
if(indeg[i] == 0)
q.push(i);
}
while(!q.empty()){
int u = q.top();
q.pop();
ans.push_back(u);
for(int i = 0; i < graph[u].size(); i++){
if(--indeg[graph[u][i]] == 0)
q.push(graph[u][i]);
}
}
if(ans.size() == n){
for(int i = 0; i < n-1; i++)
cout << ans[i] << ' ';
cout << ans[n-1] << endl;
return true;
}
return false;
}
void init()
{
memset(indeg, 0, sizeof(indeg));
for (int i = 0; i <= n; i++)
graph[i].clear();
}
int main()
{
ios_base::sync_with_stdio(false);
while (cin >> n >> m) {
init();
while (m--) {
int p1, p2;
cin >> p1 >> p2;
graph[p1].push_back(p2);
indeg[p2]++;
}
topsort();
}
return 0;
}
C - 班长竞选
题意
大学班级选班长，N 个同学均可以发表意见 若意见为 A B 则表示 A 认为 B 合适，意见具有传递性，即 A 认为 B 合适，B 认为 C 合适，则 A 也认为 C 合适 勤劳的 TT 收集了M条意见，想要知道最高票数，并给出一份候选人名单，即所有得票最多的同学，你能帮帮他吗？
解题思路
因为意见具有传递性，所以可以转换成有向图，我们可以先求出该图的强联通分量，然后来计算。
求取强联通分量，我们使用kosaraju算法，首先通过一遍dfs求出该图的逆后序序列，第二次dfs求出每一个点所在的强联通分量。这里我们可以使用一个数组来记录每一个强联通分量的点数。
我们知道，对于图中任意一个点，得票数与其所在强联通分量的其他任意点相同，为该强联通分量的点数-1（除去本身），再加上其他所有能到达这个强联通分量的强联通分量的点数之和。我们不难证明，票数最多的点所在的强联通分量的出度一定为0，因为若不为0，则其指向的强联通分量的票数更多。
所以我们可以求取每一个强联通分量的出度，对于出度为0的分量再进行筛选。
对于每一个出度为0的强联通分量，我们首先将其票数加上自身点数-1，再对于其上的任意点在反图中进行dfs，将票数加上dfs所能到达的所有连通分量的点数。
最后判断并输出即可。
代码
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
int n, m, dcnt, scnt, MAX;
vector<int> graph[5005], regraph[5005];//原图与反图
bool vis[5005], reach[5005];
int dfn[5005], c[5005], sccnt[5005], ans[5005], outDeg[5005];
//dcnt - dfs序计数， scnt - scc计数
//dfn[i] - dfs后序列中第i个点
//c[i] - i号点所在scc编号
//sccnt - 第i个scc中点的个数
void init()
{
for (int i = 0; i <= n; i++){
graph[i].clear();
regraph[i].clear();
}
memset(sccnt, 0, sizeof(sccnt));
memset(ans, 0, sizeof(ans));
memset(outDeg, 0, sizeof(outDeg));
}
void dfs1(int x){
vis[x] = true;
for(int y:graph[x])
if(!vis[y])
dfs1(y);
dfn[++dcnt] = x;
}
void dfs2(int x){
c[x] = scnt;
sccnt[scnt]++;
for(int y:regraph[x])
if(!c[y])
dfs2(y);
}
void kosaraju(){
dcnt = scnt = MAX = 0;
memset(vis, 0, sizeof(vis));
memset(c, 0, sizeof(c));
for(int i = 0; i < n; ++i)
if(!vis[i]) dfs1(i);
for(int i = n-1; i >= 0; i--)
if(!c[dfn[i]]){
scnt++;
dfs2(dfn[i]);
}
}
void dfs3(int a, int x){
vis[a] = true;
if(!reach[c[a]]){
ans[x] += sccnt[c[a]];
reach[c[a]] = true;
}
for(int i = 0; i < regraph[a].size(); i++){
if(!vis[regraph[a][i]])
dfs3(regraph[a][i], x);
}
}
void solve(int x){
memset(vis, 0, sizeof(vis));
memset(reach, 0, sizeof(reach));//reach[i]表示第i个连通分量是否访问过。
reach[x] = true;
ans[x] += sccnt[x] - 1;
for(int i = 0; i < n; i++){
if(c[i] == x){
dfs3(i, x);
break;
}
}
if(ans[x] > MAX){
MAX = ans[x];
}
}
int main()
{
ios_base::sync_with_stdio(false);
int T;
cin >> T;
for(int cas = 1; cas <= T; cas++){
cin >> n >> m;
init();
while(m--){
int a, b;
cin >> a >> b;
graph[a].push_back(b);
regraph[b].push_back(a);
}
kosaraju();
for(int i = 0; i < n; i++){//计算每个连通分量出度
for(int j = 0; j < graph[i].size(); j++){
if(c[i] != c[graph[i][j]])
outDeg[c[i]]++;
}
}
for(int i = 1; i <= scnt; i++){
if(outDeg[i] == 0){
solve(i);
}
}
cout << "Case " << cas << ": " << MAX << endl;
bool first = true;
for(int i = 0; i < n; i++){
if(ans[c[i]] == MAX){
if(first){
cout << i;
first = false;
}
else{
cout << ' ' << i;
}
}
}
cout << endl;
}
return 0;
}
