挑战图像处理100问（17）——拉普拉斯滤波器

拉普拉斯滤波

Laplacian滤波器是对图像亮度进行二次微分从而检测边缘的滤波器。由于数字图像是离散的， $x$方向和 $y$方向的一次微分分别按照以下式子计算：
$I_x(x,y)=\frac{I(x+1,y)-I(x,y)}{(x+1)-x}=I(x+1,y)-I(x,y)\\ I_y(x,y) =\frac{I(x, y+1) - I(x,y)}{(y+1)-y}= I(x, y+1) - I(x,y)$
因此二次微分按照以下式子计算：
$\begin{aligned} &I_{xx}(x,y) \\ =& \frac{I_x(x,y) - I_x(x-1,y)}{(x+1)-x} \\ =& I_x(x,y) - I_x(x-1,y)\\ =&[I(x+1, y) - I(x,y)] - [I(x, y) - I(x-1,y)]\\ =& I(x+1,y) - 2\ I(x,y) + I(x-1,y) \end{aligned}$
同理：
$I_{yy}(x,y)=I(x,y+1)-2\ I(x,y)+I(x,y-1)$
特此，Laplacian 表达式如下：
$\begin{aligned} &\nabla^2\ I(x,y)\\ =&I_{xx}(x,y)+I_{yy}(x,y)\\ =&I(x-1,y) + I(x,y-1) - 4 * I(x,y) + I(x+1,y) + I(x,y+1) \end{aligned}$
如果把这个式子表示为卷积核是下面这样的：
$K= \left[ \begin{matrix} 0&1&0\\ 1&-4&1\\ 0&1&0 \end{matrix} \right]$

代码实现

import cv2 # 我只用它来做图像读写和绘图，没调用它的其它函数哦
import numpy as np # 进行数值计算

# padding 函数
def padding(img, K_size=3):
	# img 为需要处理图像
	# K_size 为滤波器也就是卷积核的尺寸，这里我默认设为3*3，基本上都是奇数

	# 获取图片尺寸
	H, W, C = img.shape

	pad = K_size // 2 # 需要在图像边缘填充的0行列数，
	# 之所以我要这样设置，是为了处理图像边缘时，滤波器中心与边缘对齐

	# 先填充行
	rows = np.zeros((pad, W, C), dtype=np.uint8)
	# 再填充列
	cols = np.zeros((H+2*pad, pad, C), dtype=np.uint8)
	# 进行拼接
	img = np.vstack((rows, img, rows)) # 上下拼接
	img = np.hstack((cols, img, cols)) # 左右拼接

	return img

# Prewitt 滤波函数
def laplacian(img, K_size=3):

	# 获取图像尺寸
	H, W, C = img.shape

	# 进行padding
	pad = K_size // 2
	out = padding(img, K_size=3)

	# 滤波器系数
	K = np.array([[0., 1., 0.],[1., -4., 1.], [0., 1., 0.]])
	
	# 进行滤波
	tem = out.copy()

	for h in range(H):
		for w in range(W):
			for c in range(C):
				out[pad+h, pad+w, c] = np.sum(K * tem[h:h+K_size, w:w+K_size, c], dtype=np.float)

	out = np.clip(out, 0, 255)

	out = out[pad:pad+H, pad:pad+W].astype(np.uint8)

	return out

# 这里需要把图像先灰度化
# 直接用之前的灰度化代码
# 灰度化函数
def BGR2GRAY(img):

	# 获取图片尺寸
	H, W, C = img.shape

	# 灰度化
	out = np.ones((H,W,3))
	for i in range(H):
		for j in range(W):
			out[i,j,:] = 0.299*img[i,j,0] + 0.578*img[i,j,1] + 0.114*img[i,j,2]

	out = out.astype(np.uint8)

	return out

# 读取图片
path = 'C:/Users/86187/Desktop/image/'


file_in = path + 'cake.jpg' 
file_out = path + 'laplacian_filter.jpg' 
img = cv2.imread(file_in)

# 调用函数进行灰度化
img = BGR2GRAY(img)
# 调用函数进行sobel滤波
out = laplacian(img)

# 保存图片
cv2.imwrite(file_out, out)
cv2.imshow("result", out)

cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()

结果展示

原图	拉普拉斯提取图像边缘

laplacian滤波器实现图像的锐化

由于拉普拉斯是一种微分算子，它的应用可增强图像中灰度突变的区域，减弱灰度的缓慢变化区域。

因此，锐化处理可选择拉普拉斯算子对原图像进行处理，产生描述灰度突变的图像，再将拉普拉斯图像与原始图像叠加而产生锐化图像：

$g(x, y)=f(x, y)+c\left[\nabla^{2} f(x, y)\right]$
其中， $f(x,y)$为原始图像， $g(x,y)$为锐化后图像， $c$为-1（卷积核中间为负数时，若卷积核中间为正数，则 $c$为1）。

代码实现

import cv2 # 我只用它来做图像读写和绘图，没调用它的其它函数哦
import numpy as np # 进行数值计算

# padding 函数
def padding(img, K_size=3):
	# img 为需要处理图像
	# K_size 为滤波器也就是卷积核的尺寸，这里我默认设为3*3，基本上都是奇数

	# 获取图片尺寸
	H, W, C = img.shape

	pad = K_size // 2 # 需要在图像边缘填充的0行列数，
	# 之所以我要这样设置，是为了处理图像边缘时，滤波器中心与边缘对齐

	# 先填充行
	rows = np.zeros((pad, W, C), dtype=np.uint8)
	# 再填充列
	cols = np.zeros((H+2*pad, pad, C), dtype=np.uint8)
	# 进行拼接
	img = np.vstack((rows, img, rows)) # 上下拼接
	img = np.hstack((cols, img, cols)) # 左右拼接

	return img

# Prewitt 滤波函数
def laplacian(img, K_size=3):

	# 获取图像尺寸
	H, W, C = img.shape

	# 进行padding
	pad = K_size // 2
	out = padding(img, K_size=3)

	# 滤波器系数
	K = np.array([[0., 1., 0.],[1., -4., 1.], [0., 1., 0.]])
	
	# 进行滤波
	tem = out.copy()

	for h in range(H):
		for w in range(W):
			for c in range(C):
				out[pad+h, pad+w, c] = (-1)*np.sum(K * tem[h:h+K_size, w:w+K_size, c]) + tem[pad+h, pad+w, c]

	out = np.clip(out, 0, 255)

	out = out[pad:pad+H, pad:pad+W].astype(np.uint8)

	return out

# 这里需要把图像先灰度化
# 直接用之前的灰度化代码
# 灰度化函数
def BGR2GRAY(img):

	# 获取图片尺寸
	H, W, C = img.shape

	# 灰度化
	out = np.ones((H,W,3))
	for i in range(H):
		for j in range(W):
			out[i,j,:] = 0.299*img[i,j,0] + 0.578*img[i,j,1] + 0.114*img[i,j,2]

	out = out.astype(np.uint8)

	return out

# 读取图片
path = 'C:/Users/86187/Desktop/image/'


file_in = path + 'cake.jpg' 
file_out = path + 'laplacian_filter_1.jpg' 
img = cv2.imread(file_in)

# 调用函数进行灰度化
img = BGR2GRAY(img)
# 调用函数进行sobel滤波
out = laplacian(img)

# 保存图片
cv2.imwrite(file_out, out)
cv2.imshow("result", out)

cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()

结果展示

原图	锐化