【贪心】B030_雷达设备（排序 + 勾股定理）

一、题目描述

假设海岸是一条无限长的直线，陆地位于海岸的一侧，海洋位于另外一侧。

每个小岛都位于海洋一侧的某个点上。

雷达装置均位于海岸线上，且雷达的监测范围为 d，当小岛与某雷达的距离不超过d时，该小岛可以被雷达覆盖。

我们使用笛卡尔坐标系，定义海岸线为x轴，海的一侧在 x 轴上方，陆地一侧在 x 轴下方。

现在给出每个小岛的具体坐标以及雷达的检测范围，请你求出能够使所有小岛都被雷达覆盖所需的最小雷达数目。

输入格式

• 第一行输入两个整数n和d，分别代表小岛数目和雷达检测范围。
• 接下来n行，每行输入两个整数，分别代表小岛的x，y轴坐标。
• 一行数据之间用空格隔开。

输出格式

• 输出一个整数，代表所需的最小雷达数目，若没有解决方案则所需数目输出“-1”。

数据范围

• $1≤n≤1000$

输入样例：
3 2
1 2
-3 1
2 1
输出样例：
2

二、题解

方法一：排序 + 勾股定理

思路

这道题是隐式区间贪心问题，但是题目没有说的那么直观，而是给出小岛坐标 (x, y) 与 检测范围的半径 d，让读者计算区间并存储区间信息，下面给出思路。

由上图易得区间的开始与结束：

• $segs[i].begin = x - \sqrt {d^2 - y^2}$
• $segs[i].end = x + \sqrt {d^2 - y^2}$

这样把区间画出来以后，问题可被简化为至少要多少个雷达才能将这些区间覆盖完？

• 我们将岛屿区间集合 segs[0...N] 按照 end 升序排列。
• 因为我们是按照 end 升序，所以我们只需考虑下一个点的结尾位置是否能被当前雷达覆盖即可，具体为：
  • 如果下一个岛屿的 end 位置都能覆盖，证明前一个岛屿的 end 位置肯定能被覆盖的了。
  • 否则，证明需要新开一个雷达检测该岛屿，并将当前能被检测到的最远岛屿 Seg cur 指向到该岛屿。

算法

• 如果某个坐标 y > d，证明无论如何都无法检测到所有岛屿，print(-1)
• 如果下一个岛屿可以被当前雷达检测到，不用做任何动作，continue 即可。
• 否则，count++ 表示新开一个雷达检测该岛屿。

import java.util.*;
import java.math.*;
import java.io.*;
public class Main{
    public static void main(String[] args) throws IOException {  
        Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
        BufferedWriter bw = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
        
		int N = sc.nextInt();
		int D = sc.nextInt();
		Seg[] segs = new Seg[N];
		
		for (int i = 0; i < N; i++) {
			int x = sc.nextInt();
			int y = sc.nextInt();
			if (D < y) {
				System.out.println(-1);
				return;
			}
			double sqrtX = Math.sqrt(D * D - y * y);
			segs[i] = new Seg(x - sqrtX, x + sqrtX);
		}
		Arrays.sort(segs);
		int count = 1;
		
		Seg cur = segs[0];
		for (int i = 1; i < N; i++) {
			if (cur.end >= segs[i].begin) {
				continue;
			}
			count++;
			cur = segs[i];
		}
		System.out.println(count);
    }
	static class Seg implements Comparable<Seg>{
		double begin, end;
		public Seg(double _begin, double _end) {
		   begin = _begin;
		   end = _end;
		}
		@Override
		public int compareTo(Seg other) {
			return Double.compare(this.end, other.end);
		}
	}
}

复杂度分析

• 时间复杂度： $O(nlogn)$，
• 空间复杂度： $O(n)$，

---

值得注意的问题

• Q1：浮点数比较问题。
  A1：用浮点数比较会存在误差，所以建议使用了 2 数之差小于某个精确值 exact value 来判断他们是否相等。

  double exv = 10^6;
  //相应地，if (cur.end >= segs[i].begin) 条件应该改为
  if (cur.end > segs[i].begin + exv {
  	continue;
  }
  附：可以参考【蓝桥杯】赛前准备（二） 这篇文章中「杜绝浮点数比较的章节」
  

• Q2：实现 Comparable 接口后的如何编写返回值为 int 类型的 compareTo 方法问题。
  A2：
  1. 可以使用静态类 Double.compareTo(double d1, double d2)
  2. 转为对象然后调用自身的 compareTo 方法。

     Double obj1 = new Double("8.5");
     Double obj2 = new Double("11.50");
     int retval =  obj1.compareTo(obj2);