第60课 - 二叉树的深层特性

1、二叉树的深层特性 

        性质1 

                在二叉树的第i层录多有2^i-1上个结点。(i≧1) 

                    第一层最多有2^1-1 = 1个结点 

                    第二层最多有2^2-1 = 2个结点 

                    第三层最多有2^3-1= 4个结点 

                     ....... 

                    

        性质2 

                高度为k的二叉树最多有2^k-1个结点(k≧0) 

                    如果有一层，最多有1=2¹-1=1个结点 

                    如果有两层，最多有1+2=2²-1=3个结点 

                    如果有三层，最多有1+2+4=2³-1=7个结点 

                     ....... 

        性质3 

                对任何一棵二叉树，如果其叶结点有n₀个，度为2的非叶结点有n₂ 

                个，则有n₀= n₂+1。 

                        证明：假设二叉树中度1的结点有n₁个且总结点为n个，则： 

                                            n=n₀ + n₁ + n₂ 

                        假设二叉树中连接父结点与子结点间的边为e条，则： 

                                            e = n₁ + 2n₂ = n - 1 

                        所以： 

                                             n₀ = n₂+1 

        性质4 

                具有n个结点的完全二叉树的高度为⌊log2n⌋+1。 (⌊X⌋表示 

                不大于X的最大整数） 

                        证明：假设这n个结点组成的完全二叉树高度为k 、则： 

                                                2^k-1-1< n ≤  2^k - 1 

                        因为n为整数，所以： 

                                                2^k-1 ≤ n < 2^k 

                        取对数： 

                                                k-1 ≤ log₂n < k 

                        因为k为整数，所以： 

                                                k = ⌊log₂n⌋ + 1

    

        性质5 （这个只针对完全二叉树）

                一棵有n个结点的完全二叉树（高度为⌊log2n⌋+1) ，按层次对 

                结点进行编号（从上到下，从左到右），对任意结点i有： 

                        如果i = 1 , 则结点i是二叉树的根 

                        如果i > 1 则其双亲结点力⌊i/2⌋ 

                        如果2i <= n , 则结点i的左孩子力2i 

                        如果2i > n , 则结点i无左孩子 

                        如果2i+1 <= n , 则结点i的右孩子力2i+l 

                        如果2i+1 > n , 则结点i无右孩子 

                    

2、实战预告 

        To be continued…

        思考： 

                如何实现二叉树的存储结构？ 

                如何实现二叉树对应的 数据类型？