题目
给定一个无向带权图
你可以任意删除与1号点相连的边。
询问有多少种删边方法，使得不存在边权异或为0的，包含1号点的非平凡环。（可重边，可重点）
平凡环指的是，没有经过奇数次的边。
N<=1e4,w<32
思路
假如暴力枚举删边情况，如何求是否有零和非平凡环？
可以看出任意一个环都能取。
一个众所周知的结论是：
所有环的可能的和可以被表示成一个线性基。
这个线性基由任意一颗生成树的所有非树边所组成的环构成。
鉴于边权只有32，枚举发现只有374个不同的线性基。
去掉1号点后划分连通块，然后将边按照所属连通块放到一起。
设状态f[i][A][j]表示：
当前决策完1~i条边是否留，当前线性基是A，1到当前连通块的根的树高是j。
转移时，当前块第一条保留的边决定了1的树高，并且会带来一些块内环的贡献。
之后保留的边，则加入对应的环长。两个线性基合并时，要保证没有交集。O(374n*32)
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e5+77;
struct Edge {
int to,next,w;
}ls[N*3];
int tic;
int n,m,vis[N],dis[N],st[N],z = 1,aa[N],bb[N],cc[N],ppp[N],dfn[N];
int root[N],p[N],t[N];
vector<int> ex[N];
bool ban[N];
ll status[1010],f[2][404] = {0};
int nxt[1010][32] = {0},mo[505][505];
int len = 0,tail = 0;
map<ll,int> M;
const int mod = 1000000007;
void dfs(int now,int last) {
int to;
for (int i = st[now];i;i = ls[i].next) {
to = ls[i].to;
if (to == 1 || i == (last^1))
continue;
if (vis[to] == tic) {
if (dfn[to] < dfn[now]) {
if ((dis[now]^dis[to]^ls[i].w) == 0)
ban[tic] = 1;
ex[tic].push_back(dis[now]^dis[to]^ls[i].w);
}
}
else {
vis[to] = tic;
dfn[ls[i].to] = dfn[now]+1;
dis[ls[i].to] = (dis[now]^ls[i].w);
dfs(ls[i].to,i);
}
}
}
void AddE(int from,int to,int w) {
ls[++z].to = to;
ls[z].w = w;
ls[z].next = st[from];
st[from] = z;
}
void init() {
memset(nxt,-1,sizeof(nxt));
for (int i = 1;i < 32; i++) {
status[++tail] = ((1ll<<i)|1);
M[status[tail]] = tail;
}
for (int i = 1;i <= 4; i++) {
len = tail;
for (int j = 1;j <= len; j++) {
for (int k = 1;k < 32; k++) {
if (!((1ll<<k)&status[j])) {
ll tmp = status[j];
for (int ii = 0;ii < 32; ii++) {
if ((1ll<<ii)&status[j]) {
tmp |= (1ll<<(ii^k));
}
}
if (!M[tmp]) {
M[tmp] = ++tail;
status[tail] = tmp;
}
nxt[j][k] = M[tmp];
}
}
}
}
}
int calc(int A,int B) {
ll tmp = 0;
for (int i = 0;i < 32; i++)
if ((1ll<<i)&status[A]) {
for (int j = 0;j < 32; j++)
if ((1ll<<j)&status[B]) {
if (tmp&(1ll<<(i^j)))
return -1;
tmp |= (1ll<<(i^j));
}
}
return M[tmp];
}
int main() {
init();
status[374] = 1;
tail = 374;
M[1] = 374;
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i = 1;i <= m; i++) {
scanf("%d%d%d",&aa[i],&bb[i],&cc[i]);
if (aa[i] == 1) {
root[bb[i]] = 1;
dis[bb[i]] = cc[i];
}
if (bb[i] == 1)
root[aa[i]] = 1,dis[aa[i]] = cc[i];
}
for (int i = 1;i <= m; i++) {
if (root[aa[i]] && root[bb[i]]) {
p[aa[i]] = bb[i];
p[bb[i]] = aa[i];
ppp[aa[i]] = ppp[bb[i]] = (cc[i]^dis[aa[i]]^dis[bb[i]]);
}
AddE(aa[i],bb[i],cc[i]);
AddE(bb[i],aa[i],cc[i]);
}
for (int i = 2;i <= n; i++)
if (root[i]) {
tic = i;
vis[i] = i;
dfn[i] = 0;
dfs(i,-10);
t[i] = 374;
if (ex[i].size()) {
for (int j = ex[i].size()-1;~j; j--) {
if (!ex[i][j]){
ban[i] = 1;
break;
}
if (!mo[ex[i][j]][t[i]])
mo[ex[i][j]][t[i]] = mo[t[i]][ex[i][j]] = calc(t[i],ex[i][j]);
if (mo[ex[i][j]][t[i]] < 0) {
ban[i] = 1;
break;
}
t[i] = mo[ex[i][j]][t[i]];
}
}
}
int I = 0;
f[I][374] = 1;
for (int i = 2;i <= n; i++) {
if (ban[i])
continue;
if (!root[i])
continue;
ban[i] = ban[p[i]] = 1;
int pp = t[p[i]],pppp = ppp[i];
if (!mo[t[i]][pppp])
mo[t[i]][pppp] = mo[pppp][t[i]] = calc(pppp,t[i]);
pppp = mo[pppp][t[i]];
if (ppp[i] == 0)
pppp = -1;
for (int j = 0;j <= 400; j++)
f[I^1][j] = 0;
for (int j = 1;j <= 374; j++) {
f[I][j] %= mod;
f[I^1][j] += f[I][j];
if (!mo[j][t[i]])
mo[j][t[i]] = mo[t[i]][j] = calc(j,t[i]);
if (mo[j][t[i]] > 0) {
f[I^1][mo[j][t[i]]] += f[I][j];
}
if (p[i]) {
if (!mo[j][pp])
mo[j][pp] = mo[pp][j] = calc(j,pp);
if (mo[j][pp] > 0)
f[I^1][mo[j][pp]] += f[I][j];
if (pppp > 0) {
if (!mo[j][pppp])
mo[j][pppp] = mo[pppp][j] = calc(j,pppp);
if (mo[j][pppp] > 0)
f[I^1][mo[j][pppp]] += f[I][j];
}
}
}
I ^= 1;
}
for (int j = 2;j <= 374; j++)
f[I][1] += f[I][j];
f[I][1] %= mod;
printf("%lld",f[I][1]);
return 0;
}
