1 重心坐标的定义及求解

1.1 基础定义

给定三角形的三点坐标A, B, C，该平面内一点(x,y)可以写成这三点坐标的线性组合形式，即 $(x,y) = \alpha A+\beta B+ \gamma C$ 且满足 $\alpha + \beta + \gamma=1$ 则称此时3个坐标A,B,C的权重 $\alpha, \beta ,\gamma$ 为点 $(x,y)$ 的重心坐标。

（特别的，如图中所说的，如果该点在三角形内部则三点坐标都为非负数，我们会在1.3节给出简要的叙述。）

1.2 几何面积角度求解

除却1.1节中重心坐标的基础定义之外，重心坐标还有一个另外一个角度的等价定义，如下图：

在这里插入图片描述
将一点(x,y)与A,B,C三点直接连接，构成三个三角形面积分别为 $A_A,A_B,A_C$ ,即可直接定义出重心坐标如图中公式所示。

(tips：如果这个点在某个边的外侧，那么该点与这条边构成的三角形面积计算为负值(不想深究的读者可暂时忽略这条tips))

好了根据这条定义，我们只需求出各个三角形的面积便可以直接得出重心坐标了！

我们已知图中4点坐标，那么求出面积自然是很简单的，这里利用行列式的几何意义直接求解，即任意2个2维向量组合成矩阵的行列式的绝对值，为这两条向量所围成平行四边形的面积 (如果对行列式几何意义不清楚的话建议前往B站搜索3B1B的线代本质)。即点P(x,y)，则由：

$A_B = |AP,AC|$ , 其中AP,AC为列向量符号||为行列式
$A_C=|AB,AP|$
$A_A = |BC,BP|$

此处省略行列式计算步骤，不难得出

注意，求出其中2个之后第三个可以根据性质直接求出。

1.3 坐标系角度求解

针对重心坐标系的另外一种等价视角便是，以A点为原点，AB,AC分别为新的坐标系的单位向量构建坐标系，如图所示：

其中给定任意点P的坐标可以用 $\beta,\gamma$ 来表示，即 $P(\beta,\gamma)$ ,不难得出，P点坐标在原坐标系中的位置满足：

进一步化简得到：

到这里其实就可以发现，我们已经成功的把P用三角形的三个顶点的线性组合表示了，并且3个权重之和为1，完全符合定义，因此这是一种完全等价的角度！

从这种角度出发，我们完全可以将上式表现成一个线性方程组来求解出 $\beta,\gamma$ ，两个未知量，两个式子，如下：
在这里插入图片描述
解出该方程组的解其实与1.2节中面积的角度式完全一样的，不在这里展开。

最后我们看一下在1.1节所说的3个重心坐标都是非负的时候，点一定在三角形内，你是否可以从本节的坐标系角度之中直接看出呢？

2 重心坐标的运用

重心坐标在图形学中最重要的运用便是插值，他可以根据三个顶点A,B,C的属性插值出任意点的属性，无论是位置，颜色，深度，法线向量等等，而这些属性在之后的着色或是消除隐藏曲面都有很大的作用。这里只举一个在计算机图形学三：光栅化1(直线的数值微分算法,中点Brensenham算法, 三角形的光栅化中所提到的光栅化三角行的具体运用，即判断一个点是否在三角形内，完全可以用本节的重心坐标是否都大于0来代替之前的叉乘(其实二者一定程度上是等价的)。利用该条件来进行sample 再判断是否画出该像素。

这里还有一个小问题上一节中没有提到就是，如果一个点正好处于两个三角形的公共边之上那么，这个点该算作是哪个三角的呢
在这里插入图片描述
答案是只要你自己规定好就行，无所谓算哪个三角形的！