bzoj5298: [Cqoi2018]交错序列【二项式定理+动态规划+矩阵快速幂】

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解题思路：

$$x^ay^b=(n-y)^ay^b=\sum\limits_{i=0}^a\binom{a}{i}n^i(-1)^{a-i}y^{a+b-i}$$

设$f[k][i][0/1]$表示长度为$k$，结尾为$0/1$的序列中所有合法的$y$的$i$次方之和，则：

$$f[k][i][0]=f[k-1][i][0]+f[k-1][i][1]$$
$$f[k][i][1]=\sum(y_l+1)^i=\sum\limits_{j=0}^if[k-1][j][0]$$

直接矩阵快速幂算出后统计答案即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll unsigned long long
using namespace std;
int getint()
{
    int i=0,f=1;char c;
    for(c=getchar();(c!='-')&&(c<'0'||c>'9');c=getchar());
    if(c=='-')c=getchar(),f=-1;
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
    return i*f;
}
const int N=200;
ll n,m,a,b,mod,ans,c[N][N];
inline void add(ll &x,ll y){x=x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
struct matrix
{
    ll a[N][N];
    matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
    inline friend matrix operator * (const matrix &A,const matrix &B)
    {
        matrix res;
        for(int i=0;i<=m;i++)
            for(int k=0;k<=m;k++)if(A.a[i][k])
                for(int j=0;j<=m;j++)if(B.a[k][j])
                    res.a[i][j]=(res.a[i][j]+A.a[i][k]*B.a[k][j])%mod;
        return res;
    }
    inline friend matrix Pow(matrix A,int b)
    {
        matrix res;
        for(int i=0;i<=m;i++)res.a[i][i]=1;
        for(;b;b>>=1,A=A*A)if(b&1)res=res*A;
        return res;
    }
}A,B;
inline int p(int i,int j){return j?i+a+b+1:i;}
int main()
{
    //freopen("seq.in","r",stdin);
    //freopen("seq.out","w",stdout);
    n=getint(),a=getint(),b=getint(),mod=getint(),m=2*(a+b)+1;
    for(int i=0;i<=a+b;i++)
    {
        c[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++)
            c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
    }
    A.a[0][p(0,0)]=1;
    for(int i=0;i<=a+b;i++)
    {
        add(B.a[p(i,0)][p(i,0)],1),add(B.a[p(i,1)][p(i,0)],1);
        for(int j=0;j<=i;j++)add(B.a[p(j,0)][p(i,1)],c[i][j]);
    }
    A=A*Pow(B,n);
    for(int i=0,x=1;i<=a;i++,x=1ll*x*n%mod)
        ans=(ans+c[a][i]*(((a-i)&1)?mod-1:1)%mod*x%mod*(A.a[0][p(a+b-i,0)]+A.a[0][p(a+b-i,1)])%mod)%mod;
    cout<<ans<<'\n';
    return 0;   
}