题意
有一条直线，你在\(0\)位置，你要去\(h\)位置。
路上有一些不同的位置上有敌人，你要和他战斗，你有\(p_i\)的概率赢。若你赢，则你可以走过去，否则你会死。还有一些不同的重生点（与敌人位置不同）。你每经过一个重生点有\(p_i\)的概率插旗。你死亡后你会在最后一个插旗的位置重生，然后该位置的旗子消失。如果没有旗子，则你在\(0\)位置重生。
求你走到目的地的期望路程。模\({10}^9+7\)
\(n\leq 100000\)
做法
令\(f_i\)为走过\(i\)点后不再回到\(i\)及\(i\)之前到达终点的概率
- \(i+1\)为敌人
\(f_i=f_{i+1}\times p_{i+1}\) - \(i+1\)为重生点
\[f_i=f_{i+1}+(1-f_{i+1})*p_{i+1}*f_{i+1}+((1-f_{i+1})*p_{i+1})^2*f_{i+1}+...=\frac{f_{i+1}}{(1-p_{i+1}*(1-f_{i+1}))} \]
然后分母可能为\(0\)，所以我们维护\(\frac{1}{f_i}\)，令\(f_{i}'=\frac{1}{f_i}\)，则\(f_i'=(1-p_{i+1})\times f_{i+1}'+p_{i+1}\)
然后贡献的话就是一段路径长\(\times\)经过这一段的期望次数