废话
听说这年头博客和github跟名片一样?那我干脆把笔记记在博客好了,反正云上笔记也不容易丢。课程跟的是唐宇迪的人工智能必备数学基础,主要记录一些自己的理解和搜集的有助于理解的资料,方便回顾时迅速get到要点。网课CSDN学院 ,网易云课堂 和腾讯课堂 都有(mai bu qi de hua dao ban ye you),鼓励各位支持正版哈,授课老师属于少数的不废话的好老师。回归正题,研究ML(机器学习)、DL(深度学习)方面的童鞋没有数学支撑的话读论文或者搞创新都是很吃力的,磨刀不误砍柴工。
笔记
高等数学基础
函数
y
=
f
(
x
)
x
:
自
变
量
y
:
因
变
量
y = f(x) x:自变量 y:因变量
y = f ( x ) x : 自 变 量 y : 因 变 量
函
数
值
表
达
形
式
:
y
0
=
y
∣
x
=
x
0
=
f
(
x
0
)
函数值表达形式:y_0 = y\mid_x=x_0 = f(x_0)
函 数 值 表 达 形 式 : y 0 = y ∣ x = x 0 = f ( x 0 )
函
数
俩
种
表
达
式
:
函数俩种表达式:
函 数 俩 种 表 达 式 : eg.
显
函
数
y
=
x
2
+
1
显函数 y = x^2+1
显 函 数 y = x 2 + 1
隐
函
数
F
(
x
,
y
)
=
0
即
x
2
−
y
+
1
=
0
隐函数 F(x, y) = 0 即 x^2-y+1 = 0
隐 函 数 F ( x , y ) = 0 即 x 2 − y + 1 = 0
偶
函
数
:
f
(
−
x
)
=
f
(
x
)
偶函数:f(-x) = f(x)
偶 函 数 : f ( − x ) = f ( x )
奇
函
数
:
f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)
奇函数:f(-x) = -f(x)
奇 函 数 : f ( − x ) = − f ( x )
周
期
性
:
f
(
x
+
T
)
=
f
(
x
)
周期性:f(x+T) = f(x)
周 期 性 : f ( x + T ) = f ( x )
单
调
性
:
单调性:
单 调 性 :
极限
数列 :u1 ,u2 ,u3 ,…,un ,… 其中un 叫做通项 n →
∞
\infty
∞ 时,若通项趋近于常数C,则称数列收敛于A否则称数列为发散
趋近符号含义
x
→
x
0
:
当
x
从
x
0
两
侧
趋
近
于
x
0
时
x → x_0:当x从x_0两侧趋近于x_0时
x → x 0 : 当 x 从 x 0 两 侧 趋 近 于 x 0 时
x
→
x
0
+
:
当
x
从
x
0
右
侧
趋
近
于
x
0
时
x → x_0^+:当x从x~0~右侧趋近于x_0时
x → x 0 + : 当 x 从 x 0 右 侧 趋 近 于 x 0 时
x
→
x
0
−
:
当
x
从
x
0
左
侧
趋
近
于
x
0
时
x → x_0^-:当x从x~0~左侧趋近于x_0时
x → x 0 − : 当 x 从 x 0 左 侧 趋 近 于 x 0 时
极限
无穷小 以零为极限 eg.
lim
Δ
x
→
∞
1
x
=
0
,
则
1
x
是
x
→
∞
时
的
无
穷
小
\lim_{\Delta x\to \infty}\frac{1}{x}=0,则\frac{1}{x}是x\rightarrow\infty时的无穷小
lim Δ x → ∞ x 1 = 0 , 则 x 1 是 x → ∞ 时 的 无 穷 小
lim
Δ
x
→
2
(
3
x
−
6
)
=
0
,
则
3
x
−
6
是
x
→
2
时
的
无
穷
小
\lim_{\Delta x\to 2}(3x-6)=0,则3x-6是x\rightarrow2时的无穷小
lim Δ x → 2 ( 3 x − 6 ) = 0 , 则 3 x − 6 是 x → 2 时 的 无 穷 小
①无限个无穷小之和不一定是无穷小。
lim
n
→
∞
(
1
n
2
+
2
n
2
+
…
+
n
n
2
)
=
lim
n
→
∞
n
(
n
+
1
)
2
n
2
=
lim
n
→
∞
n
+
1
2
n
=
1
2
\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+…+\frac{n}{n^2})=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}
lim n → ∞ ( n 2 1 + n 2 2 + … + n 2 n ) = lim n → ∞ n 2 2 n ( n + 1 ) = lim n → ∞ 2 n n + 1 = 2 1
②无穷小的商不一定是无穷小。
lim
x
→
0
x
2
x
=
1
2
lim
x
→
0
x
2
2
x
=
0
lim
x
→
0
2
x
x
2
=
∞
\lim_{x\to0}\frac{x}{2x}=\frac{1}{2} \lim_{x\to0}\frac{x^2}{2x}=0 \lim_{x\to0}\frac{2x}{x^2}=\infty
lim x → 0 2 x x = 2 1 lim x → 0 2 x x 2 = 0 lim x → 0 x 2 2 x = ∞
③无穷小的比较
lim
x
→
x
0
α
(
x
)
=
0
lim
x
→
x
0
β
(
x
)
=
0
\lim_{x\to x_0}\alpha(x)=0 \lim_{x\to x_0}\beta(x)=0
lim x → x 0 α ( x ) = 0 lim x → x 0 β ( x ) = 0
l
i
m
x
→
x
0
α
(
x
)
β
(
x
)
=
0
,
则
α
比
β
高
阶
lim_{x\to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=0,则\alpha比\beta高阶
l i m x → x 0 β ( x ) α ( x ) = 0 , 则 α 比 β 高 阶
l
i
m
x
→
x
0
α
(
x
)
β
(
x
)
=
∞
,
则
α
比
β
低
阶
lim_{x\to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\infty,则\alpha比\beta低阶
l i m x → x 0 β ( x ) α ( x ) = ∞ , 则 α 比 β 低 阶
l
i
m
x
→
x
0
α
(
x
)
β
(
x
)
=
C
≠
0
,
则
α
与
β
同
阶
lim_{x\to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=C≠0,则\alpha与\beta同阶
l i m x → x 0 β ( x ) α ( x ) = C ̸ = 0 , 则 α 与 β 同 阶
函数的连续性
设
函
数
f
(
x
)
在
点
x
0
的
某
邻
域
内
有
定
义
,
如
果
当
自
变
量
的
改
变
量
△
x
趋
近
于
零
时
,
相
应
函
数
的
改
变
量
△
y
也
趋
近
于
零
,
则
称
y
=
f
(
x
)
在
点
x
0
处
连
续
设函数f (x)在点x_0的某邻域内有定义,如果当自变量的改变量△x趋近于 零时,相应函数的改变量△y也趋近于零,则称y = f (x)在点 x_0处连续
设 函 数 f ( x ) 在 点 x 0 的 某 邻 域 内 有 定 义 , 如 果 当 自 变 量 的 改 变 量 △ x 趋 近 于 零 时 , 相 应 函 数 的 改 变 量 △ y 也 趋 近 于 零 , 则 称 y = f ( x ) 在 点 x 0 处 连 续 条件
函数在该点处有定义
函数在该点处极限存在
极限值等于函数值
导数
如
果
平
均
变
化
率
的
极
限
存
在
lim
x
→
0
Δ
x
Δ
y
=
lim
x
→
0
f
(
x
0
+
Δ
x
)
−
f
(
x
0
)
Δ
x
如果平均变化率的极限存在\lim_{x\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta y}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}
如 果 平 均 变 化 率 的 极 限 存 在 lim x → 0 Δ y Δ x = lim x → 0 Δ x f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 )
则
称
此
极
限
为
函
数
y
=
f
(
x
)
在
点
x
0
处
的
导
数
,
f
′
(
x
0
)
,
y
′
∣
x
=
x
0
,
d
y
d
x
∣
x
=
x
0
,
d
f
(
x
)
d
x
∣
x
=
x
0
则称此极限为函数y=f(x)在点x_0处的导数,f'(x_0),y'\mid_{x=x_0},\frac{dy}{dx}\mid_{x=x_0},\frac{df(x)}{dx}\mid_{x=x_0}
则 称 此 极 限 为 函 数 y = f ( x ) 在 点 x 0 处 的 导 数 , f ′ ( x 0 ) , y ′ ∣ x = x 0 , d x d y ∣ x = x 0 , d x d f ( x ) ∣ x = x 0
偏导数
设
函
数
z
=
f
(
x
,
y
)
在
点
(
x
0
,
y
0
)
的
某
个
邻
域
内
有
定
义
,
设函数z=f(x,y)在点(x_0,y_0)的某个邻域内有定义,
设 函 数 z = f ( x , y ) 在 点 ( x 0 , y 0 ) 的 某 个 邻 域 内 有 定 义 ,
定
y
=
y
0
定y=y_0
定 y = y 0
,
一
元
函
数
f
(
x
,
y
0
)
在
点
x
=
x
0
处
可
导
,
即
极
限
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
0
+
Δ
x
,
y
0
)
−
f
(
x
0
,
y
0
)
Δ
x
=
A
,
则
称
A
为
函
数
:
z
=
f
(
x
,
y
)
在
点
(
x
0
,
y
0
)
处
关
于
自
变
量
x
的
偏
导
数
,
记
作
f
x
(
x
0
,
y
0
)
或
∂
z
∂
x
∣
x
=
x
0
,
∂
f
∂
x
∣
x
=
x
0
,
Z
x
∣
x
=
x
0
,一元函数f(x,y_0)在点x=x_0处可导,即极限\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=A,则称A为函数:z=f(x,y)在点(x_0,y_0)处关于自变量x的偏导数,记作f_x(x_0,y_0)或\frac{\partial z}{\partial x}\mid_{x=x_0},\frac{\partial f}{\partial x}\mid_{x=x_0},Z_x\mid_{x=x_0}
, 一 元 函 数 f ( x , y 0 ) 在 点 x = x 0 处 可 导 , 即 极 限 lim Δ x → 0 Δ x f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) = A , 则 称 A 为 函 数 : z = f ( x , y ) 在 点 ( x 0 , y 0 ) 处 关 于 自 变 量 x 的 偏 导 数 , 记 作 f x ( x 0 , y 0 ) 或 ∂ x ∂ z ∣ x = x 0 , ∂ x ∂ f ∣ x = x 0 , Z x ∣ x = x 0
几何意义
∂
∂
x
f
(
x
,
y
0
)
∣
x
=
x
0
是
曲
线
y
=
{
z
=
f
(
x
,
y
)
y
=
y
0
在
点
M
0
处
的
切
线
M
0
T
x
对
x
轴
的
斜
率
\frac{\partial}{\partial x}f(x,y_0)\mid_{x=x0} 是曲线 y =\begin{cases} z=f (x,y)\\ y=y_0 \end{cases}在点M_0处的切线M_0T_x对x轴的斜率
∂ x ∂ f ( x , y 0 ) ∣ x = x 0 是 曲 线 y = { z = f ( x , y ) y = y 0 在 点 M 0 处 的 切 线 M 0 T x 对 x 轴 的 斜 率
e
g
.
求
f
(
x
,
y
)
=
x
2
+
3
x
y
+
y
2
在
点
(
1
,
2
)
处
的
偏
导
数
eg.求f(x,y)=x^2+3xy+y^2在点(1,2)处的偏导数
e g . 求 f ( x , y ) = x 2 + 3 x y + y 2 在 点 ( 1 , 2 ) 处 的 偏 导 数
f
x
(
x
,
y
)
=
2
x
+
3
y
f
x
(
1
,
2
)
=
8
f_x(x,y)=2x+3y f_x(1,2)=8
f x ( x , y ) = 2 x + 3 y f x ( 1 , 2 ) = 8
f
y
(
x
,
y
)
=
3
x
+
2
y
f
y
(
1
,
2
)
=
7
f_y(x,y)=3x+2y f_y(1,2)=7
f y ( x , y ) = 3 x + 2 y f y ( 1 , 2 ) = 7
方向导数
设
l
l
l 为任意一个方向向量
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z = f ( x , y )
∂
f
∂
l
=
lim
ρ
→
0
f
(
x
+
Δ
x
,
y
+
Δ
y
)
−
f
(
x
,
y
)
ρ
=
Δ
x
2
+
Δ
y
2
=
∂
f
∂
x
cos
ψ
+
∂
f
∂
y
sin
ψ
\frac{\partial f}{\partial l}=\lim_{\rho\to0}\frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos \psi+\frac{\partial f}{\partial y}\sin \psi
∂ l ∂ f = lim ρ → 0 ρ = Δ x 2 + Δ y 2
f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) = ∂ x ∂ f cos ψ + ∂ y ∂ f sin ψ
方
向
导
数
为
某
一
方
向
向
量
l
所
在
平
面
与
函
数
相
交
形
成
的
曲
线
在
x
0
处
的
导
数
方向导数为某一方向向量l所在平面与函数相交形成的曲线在x_0处的导数
方 向 导 数 为 某 一 方 向 向 量 l 所 在 平 面 与 函 数 相 交 形 成 的 曲 线 在 x 0 处 的 导 数
偏
导
数
是
l
为
坐
标
轴
方
向
的
方
向
导
数
偏导数是l为坐标轴方向的方向导数
偏 导 数 是 l 为 坐 标 轴 方 向 的 方 向 导 数
梯度
函数在某点的梯度是一个方向向量(x,y),它的方向等于方向导数最大值取得的方向 一致,其大小正好是最大的方向导数 eg.
2019.1.13 7:28
微积分
求曲边面积
微分矩形:把曲面分为无穷个小矩形,则曲面面积近似于无数个小矩形面积的总和
S
=
∫
a
b
f
(
x
)
Δ
x
(
当
Δ
x
→
0
时
,
ξ
=
f
(
x
)
)
S=\int_a^bf(x)\Delta x (当\Delta x\to0时,\xi=f(x))
S = ∫ a b f ( x ) Δ x ( 当 Δ x → 0 时 , ξ = f ( x ) )
函数意义替换:把
f
(
x
)
f(x)
f ( x ) 当作
F
(
x
)
F(x)
F ( x ) 的导函数
F
′
(
x
)
F'(x)
F ′ ( x ) ,则
f
(
x
)
在
Δ
x
上
的
积
分
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
f(x)在\Delta x上的积分\int_a^bf(x)dx
f ( x ) 在 Δ x 上 的 积 分 ∫ a b f ( x ) d x
=
F
′
(
x
)
的
积
分
∫
a
b
F
′
(
x
)
d
x
=F'(x)的积分\int_a^bF'(x)dx
= F ′ ( x ) 的 积 分 ∫ a b F ′ ( x ) d x
=
∫
a
b
d
y
d
x
⋅
d
x
=
∫
a
b
d
y
(
d
x
→
0
)
=\int_a^b\frac{dy}{dx}\cdot dx=\int_a^bdy (dx\to0)
= ∫ a b d x d y ⋅ d x = ∫ a b d y ( d x → 0 )
≈
函
数
F
(
x
)
在
[
a
,
b
]
区
间
的
增
量
∫
a
b
Δ
y
≈函数F(x)在[a,b]区间的增量\int_a^b\Delta y
≈ 函 数 F ( x ) 在 [ a , b ] 区 间 的 增 量 ∫ a b Δ y
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
=F(b)-F(a)
= F ( b ) − F ( a ) 导函数线下面积=原函数改变量
x
→
0
时
,
Δ
y
=
d
y
x\to0时,\Delta y=dy
x → 0 时 , Δ y = d y
定积分
第一中值定理
ξ
左
移
,
求
得
的
S
偏
小
ξ
右
移
,
求
得
的
S
偏
大
\xi左移,求得的S偏小 \xi右移,求得的S偏大
ξ 左 移 , 求 得 的 S 偏 小 ξ 右 移 , 求 得 的 S 偏 大
故
必
存
在
ξ
,
使
求
得
的
S
刚
刚
好
故必存在\xi,使求得的S刚刚好
故 必 存 在 ξ , 使 求 得 的 S 刚 刚 好
牛顿—莱布尼茨公式
图
中
f
(
x
)
表
示
上
述
F
(
x
)
图中f(x)表示上述F(x)
图 中 f ( x ) 表 示 上 述 F ( x ) eg.
2019.2.4 3:48
泰勒公式与拉格朗日
泰勒公式出发点(函数化简)
用简单的熟悉的多项式来近似代替复杂的函数
易计算函数值,导数与积分仍是多项式多项式由它的系数完全确定,其系数又由它在一点的函数值及其导数所确定。易计算函数值,导数与积分仍是多项式
多项式由它的系数完全确定,其系数又由它在一点的函数值及其导数所确定。多项式由它的系数完全确定,其系数又由它在一点的函数值及其导数所确定。
以直代曲
当
(
x
−
x
0
)
→
0
时
,
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
+
∫
x
0
x
f
′
(
x
)
(
x
−
x
0
)
≈
f
(
x
0
)
+
f
′
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
当(x-x_0)\to0时,f(x)=f(x_0)+\int_{x_0}^xf'(x)(x-x_0)≈f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)
当 ( x − x 0 ) → 0 时 , f ( x ) = f ( x 0 ) + ∫ x 0 x f ′ ( x ) ( x − x 0 ) ≈ f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 )
一点一世界
泰勒多项式
P
n
(
x
)
=
f
(
x
0
)
+
f
′
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
+
f
′
′
(
x
0
)
2
!
(
x
−
x
0
)
2
+
…
+
f
(
n
)
(
x
0
)
n
!
(
x
−
x
0
)
n
P_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+…+\frac{f^{(n)}(x0)}{n!}(x-x_0)^n
P n ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + 2 ! f ′ ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 2 + … + n ! f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) n
称
为
f
(
x
)
在
x
0
关
于
(
x
−
x
0
)
的
n
阶
泰
勒
多
项
式
称为f(x)在x_0关于(x-x_0)的n阶泰勒多项式
称 为 f ( x ) 在 x 0 关 于 ( x − x 0 ) 的 n 阶 泰 勒 多 项 式
推导变换过程
f
(
a
+
Δ
x
)
=
f
(
a
)
+
∫
a
a
+
Δ
x
f
′
(
x
)
d
x
(
牛
顿
—
莱
布
尼
茨
公
式
)
f(a+\Delta x)=f(a)+\int_a^{a+\Delta x}f'(x)dx (牛顿—莱布尼茨公式)
f ( a + Δ x ) = f ( a ) + ∫ a a + Δ x f ′ ( x ) d x ( 牛 顿 — 莱 布 尼 茨 公 式 )
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
Δ
x
+
f
′
′
(
a
)
2
Δ
x
2
+
∫
0
Δ
x
∫
a
a
+
t
∫
a
a
+
t
1
f
′
′
′
(
x
)
d
x
d
x
d
t
(
换
元
x
=
a
+
t
)
=f(a)+f'(a)\Delta x+\frac{f''(a)}{2}\Delta x^2+\int_0^{\Delta x}\int_a^{a+t}\int_a^{a+t_1}f'''(x)dxdxdt (换元x=a+t)
= f ( a ) + f ′ ( a ) Δ x + 2 f ′ ′ ( a ) Δ x 2 + ∫ 0 Δ x ∫ a a + t ∫ a a + t 1 f ′ ′ ′ ( x ) d x d x d t ( 换 元 x = a + t ) 具体过程请参考这篇博客
任意多阶可导函数可被展开为泰勒多项式以简化函数表达
麦克劳林公式
指定
x
0
=
0
的
泰
勒
公
式
x_0=0的泰勒公式
x 0 = 0 的 泰 勒 公 式
f
(
x
)
=
f
(
0
)
+
f
′
(
x
)
x
+
f
′
′
(
0
)
2
!
x
2
+
…
+
f
(
n
)
(
0
)
n
!
x
n
+
f
(
n
+
1
)
(
θ
x
)
(
n
+
1
)
!
x
n
+
1
(
0
<
θ
<
1
)
f(x)=f(0)+f'(x)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+…+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\frac{f^{(n+1)(\theta x)}}{(n+1)!}x^{n+1}(0<\theta<1)
f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( x ) x + 2 ! f ′ ′ ( 0 ) x 2 + … + n ! f ( n ) ( 0 ) x n + ( n + 1 ) ! f ( n + 1 ) ( θ x ) x n + 1 ( 0 < θ < 1 )
f
(
x
)
≈
f
(
0
)
+
f
′
(
x
)
x
+
f
′
′
(
0
)
2
!
x
2
+
…
+
f
(
n
)
(
0
)
n
!
x
n
f(x)≈f(0)+f'(x)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+…+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
f ( x ) ≈ f ( 0 ) + f ′ ( x ) x + 2 ! f ′ ′ ( 0 ) x 2 + … + n ! f ( n ) ( 0 ) x n
多项式逼近
多阶导数的意义 eg.
f
(
x
)
=
e
x
f(x)=e^x
f ( x ) = e x
阶数
指数项的意义
阶乘
控制x小时低阶数大权重,x大时高阶数大权重(初始系数)
拉格朗日乘子法(求满足约束时函数极值)
函
数
:
f
(
x
,
y
)
约
束
:
g
(
x
,
y
)
=
C
求
满
足
约
束
条
件
的
函
数
极
值
函数:f(x,y) 约束:g(x,y)=C 求满足约束条件的函数极值
函 数 : f ( x , y ) 约 束 : g ( x , y ) = C 求 满 足 约 束 条 件 的 函 数 极 值 当 二维曲线
g
(
x
,
y
)
=
C
g(x,y)=C
g ( x , y ) = C 与函数
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z = f ( x , y ) 的某条等高线(也是 二维曲线 )
f
(
x
,
y
)
=
d
(
常
数
)
f(x,y)=d(常数)
f ( x , y ) = d ( 常 数 ) 相切时取得极值,此时俩曲线在切点处的法向量即 梯度向量(方向导数取最大值时的
l
l
l 方向,二维向量) 平行(此时梯度可能不相等 )
2019.2.5 17:53
线性代数基础
矩阵与行列式的区别
矩阵类型
方阵 三角矩阵 对角阵和单位矩阵
矩阵操作
矩阵数乘 矩阵乘法 矩阵结合律
(
A
B
)
C
=
A
(
B
C
)
(AB)C = A(BC)
( A B ) C = A ( B C )
λ
(
A
B
)
=
(
λ
A
)
B
=
A
(
λ
B
)
\lambda (AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)
λ ( A B ) = ( λ A ) B = A ( λ B )
矩阵分配律
A
(
B
+
C
)
=
A
B
+
A
C
A(B+C)=AB+AC
A ( B + C ) = A B + A C
(
B
+
C
)
A
=
B
A
+
C
A
(B+C)A=BA+CA
( B + C ) A = B A + C A
矩阵转置 对称矩阵 逆矩阵
矩阵的秩
指的矩阵的各行向量的极大线性无关组数即相互不平行的行向量数 零向量可看作与任何向量平行 矩阵的行秩=列秩 eg. 矩阵只需秩序为3
向量的内积
对应位置相乘后求和 内积的几何意义 物理背景下力做的功 图片来源
向量的长度
向量的正交
向量正交 ⇔ 垂直 ⇔ 内积为零
规范正交基
2019.2.6 14:16
特征值与矩阵分解
特征值与特征向量
Continuously Updating……