人工智能数学基础10：域、函数及相关概念

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一、运算封闭

若从某个非空数集中任选两个元素（同一元素可重复选出），选出的这两个元素通过某种（或几种）运算后的得数仍是该数集中的元素，那么，就说该集合对于这种（或几种）运算是封闭的。如自然数集N对加法,乘法运算是封闭的，整数集Z对加、减、乘法运算是封闭的，有理数集、复数集对四则运算是封闭的，初等函数集合对不定积分运算是不封闭的。

二、数域

数域简称域，设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域，简称域。常见数域：复数域C；实数域R；有理数域Q。

注意：

任意数域P都包括有理数域Q，即有理数域为最小数域
设F1及F2是两个数域，则二者的交集也构成一个数域
自然数集N及整数集Z都不是数域

三、映射、陪域、值域

设X、Y是集合，若存在对应关系使X中每个元素x在Y中有且仅有唯一元素y与之对应．则称 f 是从X到Y的映射，记作 f：X->Y。称元素y为元素x的象，元素x为元素y的象源，记作 f(x)=y。称集合X为映射f 的定义域，记作D(f) 或 dom(f)。称集合Y为映射f的陪域，记为C(f)或codom(f)。Y与X中元素有关系的元素集合{y|∃x(x∈X∧y=f(x)∈B)}称为映射的值域，记作 f(X)或V(X)或R(f)或 ran f。很显然，值域是陪域的子集；
上述定义中，定义域 X中的不同元素为值的x变元称为自变元或自变量；陪域 Y中的不同元素为值的y变元称为因变元或因变量

四、满射、单射和双射

4.1、定义

设f是从集合A到集合B的映射，若f(A)=B，即B中任一元素b都是A中某元素的像，即表示为：函数f: A → B为双射当且仅当对任意b∈B存在唯一a∈A满足f(a) = b。则称f为A到B上的满射；
设f是从集合A到集合B的映射，若对A中任意两个不同元素a1不等于a2，它们的像f1不等于f2，则称f为A到B的单射；
若映射f既是单射，又是满射，则称映射f为A到B的“双射”(或“一一映射”)。函数为双射当且仅当每个可能的像有且仅有一个变量与之对应。

4.2、补充说明

函数f : A → B为双射当且仅当其可逆，即存在函数g: B → A满足g ° f = A上的恒等函数，且f °g为B上的恒等函数，符号°表示函数复合运算。
若 X和 Y为有限集合，则存在两集合的双射函数当且仅当两个集合有相同的元素个数。

五、恒等函数

5.1、定义

恒等函数为一无任何作用的函数：它总是传回和其引数相同的值。换句话说，恒等函数为函数f(x) = x，输入等于输出。
定义：
设M为一集合，于M上的恒等函数f被定义于一具有定义域和陪域M的函数，其对任一M内的元素 x，会有f(x) = x 的关系。

于M 上的恒等函数f通常标记为：
在这里插入图片描述
在一n 维向量空间内，不论其基为何，恒等函数表示成单位矩阵：

5.2、性质

设 f：M->N为任一函数，则会有：
在这里插入图片描述

其中" °"表示函数复合。

六、线性函数

在初等数学内，函数：
f(x)=kx+b
该函数在平面直角坐标系中的图象是直线，所以称为线性函数，k称为斜率，b是f(x)在y轴上的截距，即函数图象与 y轴相交点的 y坐标。

改变斜率 k会使直线陡峭或平缓度发生变化，改变截距b 会将直线上移或下移。

高等数学的线性函数是一个线性映射，将在后面的线性代数中介绍。

七、初等函数

初等函数是由幂函数（power function）、指数函数（exponential function）、对数函数（logarithmic function）、三角函数（trigonometric function）、反三角函数（inverse trigonometric function）与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。

初等函数在其定义区间内一定连续。

初等函数之外的函数都叫非初等函数。

八、小结

本文介绍了一些与函数相关的概念，包括运算封闭、数域、陪域、值域、满射、单射、双射、映射、恒等函数、初等函数等知识。

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