Q10斐波那契数列及变体的动态规划解法

斐波那契数列

数列：
$f(n)=\left\{ \begin{array}{lcl} 0 & & {n=0}\\ 1 & & {n=1}\\ f(n-1)+f(n-2) & & {n\geq2} \end{array} \right.$

递归实现形式

虽然用递归形式很简洁，但是因为重复计算，导致计算效率非常低，100几乎计算不出来。

//计算100时，根本算不出来
long long fibonacci1(unsigned int n)
{
	if (n == 0)	return 0;
	if (n == 1)	return 1;
	return fibonacci1(n - 2) + fibonacci1(n - 1);
}

从下面的图可以看出来，f6，f5，f4都已经重复计算。

自下而上的计算方法

保留已经计算过程的 f(n-1) 和 f(n-2)。大大提高计算效率

long long fibonacci2(unsigned int n)
{
	if (n <= 0) return 0;
	if (n == 1) return 1;
	long long fMinus1 = 1;
	long long fMinus2 = 0;
	long long f = 0;
	for (int i=2; i<=n; ++i)
	{
		f = fMinus1 + fMinus2;
		fMinus2 = fMinus1;
		fMinus1 = f;
	}
	return f;
}

斐波那契额数列的变体

青蛙跳台阶

一次可以跳一阶，也可以跳两阶。求跳上n个台阶的所有可能跳法f(n)。

跳n阶时，第一次跳有两种选择

1. 跳1阶，剩下的跳法就是f(n-1)。
2. 跳2阶，剩下的跳法就是f(n-2)。

故 f(n)=f(n-1)+f(n-2)。

青蛙跳阶的另一变体：

青蛙每次可以跳任意个，那么

1. f(1) = 1
2. f(2) = 2
3. f(3) = f(2)+f(1)+1=4
4. f(4) = f(3)+f(2)+f(1)+1 = 8 = f(3)+ f(3)
5. f(n) = 2*f(n-1)= $2^{n-1}$

1x2小矩形覆盖 2xn大矩形

1x2小矩形覆盖方法也有两种，横着和竖着

那第一次覆盖时，也有两种，

1. 竖着覆盖，那么还剩的格子为 2x(n-1)，剩下的覆盖方法为 f(n-1)
2. 横着覆盖，那么还需要一个把小矩形下面的覆盖掉，这是确定的。那么剩下的格子数为2x(n-2)，可能的覆盖方法为f(n-2)。

故 f(n)=f(n-1)+f(n-2)