斐波那契数列的若干解法

什么是斐波那契数列

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F(0)=1，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）

引自百度百科

解法一：普通递归

根据斐波那契的数学表达式，我们可以直接写出它的递归求解形式

#include<stdio.h>

int fib(int n)
{
    if(i<3) return 1;
    return fib(n-1) + fib(n-2);
} 

int main()
{ 
    int n;
    scanf("%d", &n);
    printf("%d \n", fib(n));
    return 0;
}

该递归方式中有大量重复计算。以n等于6为例：

可以看到，对于每一个fib(i)（除了fib(1)和fib(2)），都要计算fib(i-1)和fib(i-2)的值，并且开辟相应的辅助空间，形成一颗二叉树。当二叉树由“左孩子——>右孩子——>父节点”的次序展开后，由两个孩子的值计算出父节点的值，然后释放父节点的两个孩子节点。释放孩子节点后，如果该父亲节点是该父亲节点的父亲节点的左孩子节点，则开始计算该父亲节点的父亲节点的右孩子节点；若该父亲节点是该父亲节点的父亲节点的右孩子节点，则与左孩子节点相加计算出该父亲节点的父亲节点的值后，释放该父亲节点和该父亲节点的兄弟节点。若该父亲节点没有父亲节点，则整个递归结束。据此，整个递归过程需计算大约2^n次，时间复杂度为O(2^n), 空间复杂符为O(n)。

解法二：递归优化

由解法一的递归可见，在整个过程中做了大量重复计算，比如要计算fib(6)，就得在计算fib(5)时计算一次fib(4)，并且在计算fib(6)时计算一次fib(4)。为此，我们可以用一个数组来记录下计算的中间过程，这样所有的中间过程只需要计算一遍。时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int fib(int n, int * p)
{
   if (n<3)
   {
       p[n] = 1;
       return 1;
   }
   if (p[n-1] == -1)                                                                                               
   {
       p[n-1] = fib(n-1, p);
   }
   if (p[n-2] == -1)
   {
       p[n-2] = fib(n-2, p);
   }  
   p[n] = p[n-1] + p[n-2];
   return p[n-1] + p[n-2];
} 

int main()
{
    int n;
    int *p = NULL;
    scanf("%d", &n);
    p = (int *)malloc(sizeof(int)*(n+1));
    if( p != NULL)
    {
        int i = 0;
        for(i = 0; i<=n; i++)
        {
            p[i]  = -1;
        }       
        fib(n, p);
        printf("%d\n", p[n]);
    } 
    return 0;
}

解法三：尾递归

尾递归是一种特殊的递归方式。特殊在于它返回时调用的只有函数本身，而不是在调用函数自己时附加一些处理。每次调用自己事时将单次计算的结果缓存起来，传递给下次调用，相当于自动累积。时间复杂度为O(n)；而如果编译器对代码有优化的话，该解法的空间复杂度为O(1)，否则为O(n)。

#include <stdio.h>

int fib(int first, int second, int n)
{
    if (n<3)
    {
        return second;
    }
    return fib(second, first+second, n-1);
}

int main()
{
    int n;
    int i = 0;
    scanf("%d", &n);
    for (i = 1; i<=n; i++)
    {
        printf("%d\n", fib(1, 1, i));
    }
    return 0;
}

解法四：递推

这种解法就是利用循环的方式，一步一步地加出我们需要的结果。

#include <stdio.h>

int fib(int n)
{
   int first = 1; 
   int second = 1;
   int third = first + second;
   int i = 0;
   if (n<3)
   {
       return 1;
   }
   for (i = 3; i<=n; i++)
   {
       third = first + second;
       first = second;
       second = third;
   }
    return second;
}

int main()
{
    int n;
    int i = 0;
    scanf("%d", &n);
    for (i = 1; i<=n; i++)
    {
        printf("%d\n", fib(i));
    }
    return 0;
}