符号的定义
我们把n阶张量写作：
每个元素是：
其中ik是每个阶数的维度，如4维时ik=1，2，3，4。特别地，一阶张量是向量，可以表示为（x1,x2,x3),二阶张量是矩阵，可以表示为（x11,x12,x13,x21,x22,x23,x31,x32,x33)。
为了电脑计算方便，需要把张量按照单个阶展开为一个矩阵，k阶张量的展开定义为：
也就是说，原来是一列的value，现在把他按照第k阶分为3（因为在三维世界中）列，举例二阶张量原来写作（x11,x12,x13,x21,x22,x23,x31,x32,x33)，若按照第2阶展开，写作（x11,x12,x13,
x21,x22,x23,
x31,x32,x33)
同时，相对地，也给出折叠的表达为：
我们用trace范数来近似张量的秩：其中，αk是权重常量且Σαk=1。
我们把F范数表示为
，也就是所有元素平方和在开方，显然，
，因为后者与前者元素没有变化，只是转化为了矩阵而已。
一个张量χ与一个Jk行Ik列的矩阵在模式k上的乘法定义为
且 
在经过第k阶上的展开后，又可以写成
LRTA算法初步
首先，从总体上看，我们的目的是从msi上得到空间维信息、从hsi上得到光谱维信息。除此之外，还需要某种方法把信息整合到我们的target图像hsi2中。于是，分析了hsi2到hsi和msi的光谱退化模型和空间退化模型。在考虑图像退化的情况下，将HS-MS融合问题转化为一个低秩张量逼近问题，然后采用线性化的交替方向自适应惩罚法(LADMAP)求解。因此，LRTA需要在恢复退化图像缺失值的同时学习融合的hsi2。
传感器观测模型
在实际应用中，获取的遥感影像的总能量是一定的，在空间分辨率和光谱分辨率之间存在不可避免的权衡，HSI的获取被认为是真实地面目标的空间退化过程，而MSI是光谱退化过程。设HSI为
，MSI为
，则未知的HSI2为
，是hsi和msi的未退化版本。于是建模：
其中
，
，内核为r*r。
