贝叶斯的笔试题

小王要去外地出差几天，家里有一盆化交给邻居帮忙照顾，若已知如果几天内邻居记得浇水，花存活的概率为0.8.如果几天内邻居忘记浇水，花存活的概率为0.3，假设小王对邻居不了解，即可以认为他记得和忘记浇水的概率均为0.5，问：如果几天后他回来发现花还活着，那么邻居记得浇水的概率是多少？

解：利用$X$表示花的状态，利用$Y$表示邻居是否浇水。
$X=1$表示花存活，${X=0}$ 表示花死亡。
$Y=1$表示邻居浇水，${Y=0}$ 表示邻居没有浇水,根据题目的含义，$P(Y=1)=0.5$,$P(Y=0)=0.5$
$P(X=1|Y=1) = 0.8$ $P(X=1|Y=0) = 0.3$
根据全概率公式：

$$P(X=1)\\ = \sum P(X|Y)P(Y) \\ = P(X=1|Y=1)P(Y=1)+P(X=1|Y=0)P(Y=0) \\= 0.8\times 0.5+0.3\times 0.5 = 0.55$$
则邻居浇水的概率为 $P(Y=1|X=1)$:
$$P(Y=1|X=1)= \frac {P(X=1|Y=1)P(Y=1)}{P(X=1)}=\frac{0.8\times 0.5}{0.55} = \frac{8}{11}$$