计算机组成原理第二章例题解析（上）

本章首先讲述计算机中数据与文字的表示方法，然后讲述定点运算，定点运算器的组成，最后讲述浮点运算方法，浮点运算器的组成。

范围问题

纯小数范围： $0\le|x|\le1-2^n$
纯整数范围： $0\le|x|\le2^n-1$
在这里插入图片描述
定点整数的补码： $-2^n\le[x]_移\le2^n-1$

定点小数的补码： $-1\le[x]_移\le1-2^{-n}$
例如
当n为4时：
真值：-1111~+1111
补码：10001~01111（注意正数的补码不变）

$\Rightarrow$ 10000~01111 $\Rightarrow$ -16 ~15
原码的定点整数：
$[x]_原=\begin{cases} x,& \text{$2^n$ $\geqslant$ $x$ $\geqslant$0 }\\ 2^n-x=2^n+|x|,& \text{0 $\geqslant$ $x$ $ \geqslant$ $-2^n$} \end{cases}$
例如：
$x=+1001$ ,则 $[x]_原=01001$
$x=-1001$ ,则 $[x]_原=11001$

补码的表示方法
这里有一个有趣的说法：
我们可以把补码视作一个无头无尾的圆，可以正向走，可以反向走。
$-3=+9 (mod)12$
如何来理解这样的式子呢？
我们将其普遍化，令前一个数的绝对值为 $x$ ,第二个数的绝对值为 $y$ ,第三个数为 $z$ ;我们发现第一个数的绝对值与第二个数的绝对值之和为第三个数，即 $x+y=z$ ；列方程为： $(z-a)mod (z)=[z+(z-a)]mod(z)$

正负补码与真值的关系
在这里插入图片描述

$x=0\times2^8+1\times2^7+0\times2^6+0\times2^5+1\times2^4+1\times2^3+0\times2^2+1\times2^1+1\times2^0$

$x=-1\times2^8+1\times2^7+\ldots+1\times2^0$
补码表示法的创新点：

用加法代替减法
$[a]_补-[b]_补=[a]_补+[-b]_补$

$[b]_补 \rightarrow [-b]_补 \Rightarrow 连同符号位取反加一$

0只有一种表示方法

移码的表示法
$[e]_移=2^k+e$
当 $x=+10101$ 时， $[x]_移=2^5+x=100000+10101=1,10101$
移码是补码符号位取反
在这里插入图片描述

最大正数

$0 111 1111 1 111 1111 1111 1111 1111 1111$
$x=[1+(1-2^{23})]\times2 ^{255-128}$
最小正数：
$0 000 0000 0 000 0000 0000 0000 0000 0000$
$x=1\times2^{-128}$
最小负数：
$1 11111111 111 1111 1111 1111 1111 1111$
$x=-[1+(1-2^{23})]\times2^{127}$
最大负数：
$1000 0000 0 000 0000 0000 0000 0000 0000$
$x=-1\times2^{-128}$
归纳范围问题
IEEEE754浮点数的表示范围：

在这里插入图片描述

规格化问题

在IEEEE754标准中，一个规格化的32位浮点数 $x$ 的真值表示为：
$x=(-1)^S\times2^{E-127}\times(1.M)$
$e=E-127$
在这里插入图片描述
将16进制展开：
$\begin{matrix} \underbrace{ 0} \\ S \end{matrix}$ $\begin{matrix} \underbrace{ 100 0001 0} \\ 阶码（8位） \end{matrix}$ $\begin{matrix} \underbrace{ 011 0110 0000 0000 0000 0000} \\ 尾数（23位） \end{matrix}$
阶码：
$\ e=E-127 \ =3$
尾数：
$1.M=1.011 0110 0000 0000 0000 0000 =1.011011$
$x=(-1)^0\times(1.011011)\times2 ^3$
$x=1011.011=(11.375)_{10}$
在这里插入图片描述
将10进制换成2进制，方法同上

这里的位数我所理解的是：因为一个十进制所要占用半个字节，也就是4位二进制，所以十进制的位数一定要占满完整的字节，也就是说十进制位数要为偶数。