快速幂问题#数论

求a^b mod p

首先让计算机求出a^b，如果直接暴力的话，计算机要计算b次，但是b的数据范围太大，直接计算可能会超时，所以要采用快速幂，将复杂度降为O(log(b))

• 如果a自乘一下 就变成a^2 再自乘一下就变成a^4
  a*a = a^(1+1) = a^2
  a^2 * a^2 = a^(2+2) = a^4
• 将b转化为二进制：
  例如b = （11）10 = （1011）2
  从左到右这些1分别表示2^3 2^1 2^0
  十进制的话就是8，2,1
  这样的话a^11 = a^8 * a^2 * a

这样表示之后，我们就可以在快速幂的过程中让a不断的自乘
看下代码

ll power(int a,int b,int p)
{
	ll ans = 1,base = a;
	//ans是答案，base是自乘的基础 
	while(b > 0)//b是一个变化的二进制数 
	{
		if(b & 1)
		//&是位运算，b&1表示b在二进制下最后一位是不是1 
		ans = ans*base%p;
		//如果是，答案就乘上base 
		base = base*base%p;
		//base自乘 
		b >>= 1;
		//b右移一位，把原本最右边的1移掉 
	}
	return ans;
}

我再给大家模拟一下循环过程

1. 第一次循环，首先判断二进制数b的最后一位是不是1，如果是1，表示a^11 = a^8 * a^2 * a^1 的a^1存在，所以ans *= base，然后base自乘上升变成a^2，b右移一位，把刚刚用过的一位推掉
2. 第二次循环，现在b的最后一位是1，表示a^2存在，所以ans *= base，现在的base = a^{2，然后base再次自乘，变成a}4，b继续右移
3. 第三次循环，这次b的最后一位是0，表示a^{4不存在，base继续自乘变成a}8，b右移
4. 第四次循环，现在b的最后一位是1，ans *= base，b再右移一位变成0，循环结束