UPC-取数排列(逆康托展开式)

学习犹如逆水行舟，不进则退

UPC-取数排列(逆康托展开式)

康托展开←点我点我

取1到N共N个连续的数字（1≤N≤9），组成每位数不重复的所有可能的N位数，按从小到大的顺序进行编号。当输入一个编号M时，就能打印出与该编号对应的那个N位数。例如，当N＝3时，可组成的所有三位数为：那么，输入编号M＝2时，则输出132。

输入

包括两个数，即正整数N（1 ≤ N ≤ 9）和正整数M（1 ≤ M ≤ 362880）。

输出

只有一行，即与输入的编号M对应的那个N位数。

Sample Input

3 2

Sample Output

132

当拿道这道题的时候，我突然想到了两个月前突然看到的一个algorithm叫做
Cantor 康托算法。康托算法的意思就是将一个序列的全排列做了以下大小排序，然后通过Cantor algorithm 求出这是第几个比如说，原序列为123那么第1项为123第二项为132，如此往复。。。
那么你会发现这个地方正好是和题意是相反的，OK那么我们基于康托算法进行逆运算。首先搞一下正运算。

康托展开

康托展开式如下
一堆话描述为
首先要加上1，因为序列从1号开始。
你定义一个数列比如12345，给予一个乱序。
53412，试问这是第几个。
我们定义N为当前数字在所有数字中的地位，就是自己身后还有多少个比自己小的数，如1的话后面就没有数了，所以是0.注意这里用一次去掉一个
那么5后面有4个所以N₁=4，这样原序列还有1234。
然后3后面还有1和2有两个故N₂=2，这样还剩124。这样N₃=2，N₄=0，N₅=0。
如此以后利用展开式
$ans=\sum_{i=1}^{n}N_{i}*(n-i)!+1$
$4*4!+2*3!+2*2!+0*1!+0*0!+1=113$
可得ans为 113号

那么
逆康托展开怎么玩呢？
就逆着玩呗。
就是可劲除阶乘就完了
因为是先加上了1所以逆运算的时候肯定要先减1
那么
113-1=112。
OK开始逐梦大业。
同样5个序列摆上
序列为12345
首先用112÷4!=4…16
所以在整个序列里比自己小的有4个那么这个数就是第4+1个数
即为第5个数就是5
序列变成1234
然后呢用16÷3!=2…4
所以在整个序列里比自己小的有2个那么这个数就是第2+1个数
即为第3个数就是3
序列变成124
然后呢用4÷2!=2…0
所以在整个序列里比自己小的有2个那么这个数就是第2+1个数
即为第3个数就是4
序列变成12
然后呢用0÷1!=0…0
所以在整个序列里比自己小的有0个那么这个数就是第0+1个数
即为第1个数就是1
序列变成2
所以最后变为53412

那么这题有内味了！！！

AC时间到

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<map>
#include <stack>
#include<string>
#include<math.h>
#include<stdio.h>
#pragma GCC optimize(2)
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll ll_inf=9223372036854775807;
const int int_inf=2147483647;
const short short_inf=32767;
const char char_inf=127;
inline ll read() {
	ll c=getchar(),Nig=1,x=0;
	while(!isdigit(c)&&c!='-')c=getchar();
	if(c=='-')Nig=-1,c=getchar();
	while(isdigit(c))x=((x<<1)+(x<<3))+(c^'0'),c=getchar();
	return Nig*x;
}
#define read read()
ll j[]= {0,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800};
ll save[]= {1,2,3,4,5,6,7,8,9};
int main() {
	ll n,m;
	cin>>n>>m;
	ll t=m-1;
	for(ll i=n-1; i>=1; i--) {
		ll temp=t/j[i]+1;
		for(ll j=0; j<n; j++) {
			if(save[j]==-1)continue;
			temp--;
			if(!temp) {
				printf("%lld",save[j]);
				save[j]=-1;
				break;
			}
		}
		t%=j[i];
	}
	for(int i=0; i<n; i++)
		if(save[i]!=-1) printf("%lld",save[i]);
	return 0;
}

前边存储以下阶乘内容这样的话会比较便利。
理解之后康托公式比dfs食用更佳

By-轮月

书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。