排列的编码【康托展开】

题目大意：

$Input$

(4,(3,2,1,4))
(5,(3,5,1,2,4))
-1

$Output$

15,67

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思路：
考试时居然把这道题推出来了。。。

然后还AK了。。。

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正题：

这道题要我们求出这个排列是字典序第几大的，也就是让我们求 有多少个排列比该排列小，再加1即是答案。
那么应该如何考虑呢？
举个例子

• $(5,(3,5,1,2,4))$

这个排列是

• $3 5 1 2 4$

考虑万位数，有多少个数只填万位数就肯定比它小呢？
很明显，如果必须比它小，那么就只有万位数为$1$或$2$才行。那么万位数为$1$或$2$的又有几个数呢？
如果把数字$1$放入万位

• 1_ _ _ _

无论后面放入什么数字，都满足这个数字小于$35124$所以说，后面的数字可以随便填，方案数为$4！$（$！$表示阶乘，后面相同）
那么把$2$填进万位也有$4！$种方法，所以仅看万位就有$2\times 4!=48$种填法。
那么接下来看千位

• 3 _ _ _ _

填千位使得这个数必然小于$3 5 1 2 4$一共有几种方案呢？
按照原来的方法，应该有$4\times 3!=24$种方法。
但是，这样错了！
我们来把这个过程模拟一遍。
这个数千位必须小于5，那么就有$1$，$2$，$3$，$4$四个数可填。
但是！
我们在填万位数的时候就已经把$1$或$2$填进去了，所以如果万位填$1$，那么千位就不能填$1$（每个数只能填一遍）,那就只有$2$，$3$，$4$三个数可填。同理，如果将$2$填入万位，就只有$1$，$2$，$3$三个数可填。
所以无论用哪种填法，千位都只能填3个数！
但是如果这个样例是这样的

• $43152$

那么千位就能填$1$，$2$两个数字，还是千位数减一。
那是为什么呢？
不难发现，两组数据的区别就在于一个万位数比千位数大，一个万位数比千位数小。
如果万位数比千位数小，那么这个数就不能填在千位数（以及百位数，十位数，个位数）。同理，若果一个数万位数比百位数小，那么这个数就不能填在百位数（以及十位数和个位数）上。
所以，回到样例，由于$3<5$,所以千位数就少了一个候选数，也就变成了$3\times 3!=18$。

按照这种方法求下去，就得到

• $0\times 2!=0$
• $0\times 1!=0$
• $0\times 0!=0$

（真有趣）
那么总共就是$48+18+0+0+0=66$个数字比$3 5 1 2 4$小。
那么$3 5 1 2 4$就是第67大的数字啦！

我们再用这种方法把另一个样例试一遍。

• 原数$=3214$
• $2\times 3!=12$
• $1\times 2!=2$
• $0\times 1!=0$
• $0\times 0!=0$

和$=12+2+0+0=14$
所以，$3214$是字典序第15的数字。

总结：

我们设$num[i]$表示第$i$个数字（从左往右数），$a[i]$为$num[1]$到$num[i-1]$中，比$num[i]$大的数字个数，则

$$ans=((\sum_{i=1}^{n}(num[i]-a[i]-1)\times(n-1)! ))+1$$

本题要用高精度！

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#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <string>
#include <cstring>
using namespace std;

const int maxn=100;
int n,x,num[101],a[101][maxn+1],size,k,b[101],t,c[maxn+1],o,kk,tot;
string s;

int main()
{
    a[1][maxn]=1;
    for (int i=2;i<=50;i++)  //初始化，求阶乘
    {
        t=0;
        for (int j=maxn;j>=1;j--)
        {
            a[i][j]=a[i-1][j]*i+t;
            t=a[i][j]/10;
            a[i][j]%=10;
        }
    } 
    while (++tot)
    {
        cin>>s;
        memset(num,0,sizeof(num));
        memset(b,0,sizeof(b));
        memset(c,0,sizeof(c));  
        if (s=="-1") break;
        n=(int)s[1]-'0';
        if (s[2]>='0'&&s[2]<='9') 
         n=n*10+((int)s[2]-'0');
        if (n==1)  //特判
        {
            if (tot>1) printf(",");
            printf("1");
            continue;
        }
        if (tot>1) printf(",");
        size=s.size();
        k=1;
        for (int i=1;i<size;i++)  //读入，分离数字
         if (s[i]=='(')
         {
            for (int j=i+1;j<size;j++)
            {
                if (s[j]>='0'&&s[j]<='9')
                 b[k]=b[k]*10+((int)s[j]-'0');
                if (s[j]==',') 
                  k++;
                if (s[j]==')') break;
            }
            break;
        } 
       for (int i=1;i<=n;i++)  //求出答案
       {
           o=b[i];
           for (int j=b[i]+1;j<=n;j++)
            num[j]++;
           b[i]--;
           b[i]-=num[o];
           t=0;
           for (int j=maxn;j>=1;j--) 
           {
                c[j]+=b[i]*a[n-i][j]+t;
                t=c[j]/10;
                c[j]%=10;
           }
       }
       c[maxn]++;  //加1
       t=0;
       for (int i=maxn;i>=1;i--)
       {
            c[i]+=t;
            t=c[i]/10;
            c[i]%=10;
       }
       kk=1;
       while (!c[kk]) kk++;
       for (int i=kk;i<=maxn;i++) printf("%d",c[i]);
    }
    return 0;
}