F. Almost All

题意

填边使得树的两点之间距离可以遍历 $1\quad to\quad\frac{2n^2}{9}$所有整数。

题解

证明

1

分配数字给边，对于一棵树，如果要使得根节点到每个点的距离分别为 $a_1,a_2,a_3,...,a_n$
有这样的解决方法，首先分配最上面的结点即根节点的孩子， $a_1$到 $a_k$，对于这些孩子的孩子，分别是 $a_{k+1}-a_1$，减去前面的前缀和即可，只要你保证，是排好序的，这样就不会出现负值。

2

对于以重心为根节点的树，你的每棵子树节点数都 $\leq \frac{n}{2}$
我们能否分成两部分，每一部分都有至少 $\frac{1}{3}$的结点。

我们分离的时候，排序子树大小，选前 $k$个刚好大于等于 $\frac{n-1}{3}$。
刚好不满足的左边子树大小和是 $L$， $x$是加上满足了， $R$是右边的
即 $L\leq 1/3,L+x \geq1/3,R \geq x,L+x+R=n-1$
显然 $R\geq n-1/3$

3

在满足了第 $1,2$点，我们就可以分成左右部分 $a$、 $b$。
左边的距离是 $1,...,a$，右边的距离是 $(a+1),2(a+1),...,b(a+1)$
左边表示的距离是 $1,...a$。
右边第一个， $a+1$，结合左边之后， $a+2,...,2a+1$，刚好接上第二个。
最后能表示的距离是， $(b+1)(a+1)-1$，因为 $a\geq \frac{n-1}{3}$, $b\geq \frac{n-1}{3},a+b=n-1$
最小的距离是: $\frac{(n-1+3)(2n-2+3)}{9}-1\geq \frac{2n^2}{9}$

根据以上三点，其实好像 $1$、 $3$就够了，但是要证明满足了 $\frac{1}{3}$，右边还存在子树，所以…

接下来就是先求重心，算子树大小，排序，分别把左右的处理了即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define FOR(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define sf(x) scanf("%d",&x)
#define inf 1e18
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 405000;
 
vector<int>G[maxn];
int n,sz[maxn],mx=0x3f3f3f3f,rt=0;
int val[maxn];
 
void dfs1(int u,int fa){
    sz[u]=1;
    int tmp=0;
    for(auto v:G[u]){
        if(v==fa)continue;
        dfs1(v,u);
        tmp=max(tmp,sz[v]);
        sz[u]+=sz[v];
    }
    tmp=max(tmp,n-sz[u]);
    if(tmp<mx){
        mx=tmp;
        rt=u;
    }
}
 
void dfs2(int u,int fa){
    sz[u]=1;
    for(auto v:G[u]){
        if(v==fa)continue;
        dfs2(v,u);
        sz[u]+=sz[v];
    }
}
 
int base,tot;
pair<int,int>p[maxn];
 
void dfs(int u,int fa){
    cout<<fa<<" "<<u<<" "<<tot*base-val[fa]<<endl;
    val[u]=tot*base;
    tot++;
    for(auto v:G[u]){
        if(v==fa)continue;
        dfs(v,u);
    }
}
 
 
int main(){
    cin>>n;
    FOR(i,1,n-1){
        int u,v;
        sf(u),sf(v);
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }
    dfs1(1,-1),dfs2(rt,-1);
    FOR(i,1,G[rt].size())p[i]=make_pair(sz[G[rt][i-1]],G[rt][i-1]);
    int m=G[rt].size();
    sort(p+1,p+1+m);
    int mid=0,ret=0;
    FOR(i,1,m){
        ret+=p[i].first;
        if(ret>=(n-1)/3){
            mid=i;
            break;
        }
    }
    //FOR(i,1,m)cout<<p[i].second<<" "<<p[i].first<<endl;
    //cout<<rt<<endl;
    tot=1,base=1;
    FOR(i,1,mid)dfs(p[i].second,rt);
    tot=1,base=ret+1;
    FOR(i,mid+1,m)dfs(p[i].second,rt);
}