250604武汉大学2020年高等代数考研试题参考解答
1、 计算
2、 已知
(
) 为整数,
为大于等于
的整数, 求证:
3、 设
为正定矩阵, 方程
有唯一解
, 求证矩阵
为正定矩阵.
4、 设
为
上的线性变换, 对于
,
求
的特征值和特征子空间.
5、 方阵
的特征值均为实数, 并且
的一阶主子式之和与二阶主子式之和均为
, 求证:
.
6、 已知多项式
互素 (即
). 证明: 对
, 有
7、 设
为
阶实矩阵,
. 证明: 存在正交矩阵
和非奇异上三角矩阵
使得
.
8、 设
为
维欧氏空间
上的线性变换, 满足
, 求证:
的迹为零.
9、 设
为
维线性空间, 求证: 对于任意大于
的整数
, 存在
个向量, 其中任意
个向量线性无关.
10、 设矩阵
的特征值均为
. 求证: 对于任意的正整数
,
与
相似.