250531首都师范大学2020年数学分析考研试题参考解答
1、 (15 分) 计算下列极限.
(1)、 (7 分) 设
且
, 求
(2)、 (8 分) 求
, 其中
为任意实数.
2、 (15 分) 证明: 函数
在
处连续, 但不可微.
3、 (15 分) 设
, 判定函数
在下列区间中是不是一致连续, 并详细说明理由.
(1)、
,
(2)、
.
4、 (15 分) 设
是定义在
上的二阶连续可微函数,
求
在柱坐标变换
下的表达式.
5、 (10 分) 设
是开区域, 可微函数
在
内满足
其中
为常数. 证明:
在
内恒为常数.
6、 (10 分) 计算
其中
为椭圆
, 取逆时针方向.
7、 (10 分) 计算第二类曲面积分
其中
,
分别为
轴,
轴,
轴的单位向量,
为四面体
的边界的外侧.
8、 (15 分) 证明级数
在区间
中内闭一致收敛于某个函数, 并求
.
9、 (15 分) 设
在
上二阶连续可微,
且存在
,
使得
. 正证明:
在
上存在唯一极小值点.
10、 (10 分) 设
为闭区间
上的连续函数, 证明:
11、 (10 分) 设函数
在闭区间
上连续, 且
. 求证: 对于任何正整数
, 都存在
, 使得
12、 (10 分) 设
, 证明对任意
, 下面不等式成立: