250530首都师范大学2020年高等代数考研试题部分参考解答
1、 (15 分) 计算
阶行列式
2、 (15 分) 设
阶方阵
满足
(
为单位方阵), 求一多项式
, 使得
.
3、 (15 分)
为变元
的所有二次齐次实多项式组成的线性空间, 有一组基
, 令
为映射, 使
验证
为
的线性变换 (即
到自身的线性变换), 并给出
在上述基下的矩阵.
4、 (15 分) 判断
与
是否相似?
5、 (15 分) 已知
分别为
矩阵. 证明:
与
有相同的非零特征值.
6、 (15 分) 设二阶实方阵
的特征多项式为
, 求
的特征多项式.
7、 (15 分) 设
阶实对称矩阵
的特征值为
, 问: 当
满足什么条件时,
为半正定 (
为单位方阵).
8、 (15 分) 设
为复数域
上
阶方阵组成的线性空间,
. 再设
为
的线性子空间
问:
满足什么条件时, 有
.
9、 (15 分) 设
为
阶实对称正定矩阵, 已知矩阵方程
(
为
阶实方阵) 有唯一解
. 证明:
为对称正定矩阵.
10、 (15 分) 设
维实线性空间
有一组基
, 已知
都是
的有理系数线性组合, 而
线性无关, 但
线性相关. 证明:
为
的有理系数线性组合.