little w and Exchange 解析

little w and Exchange 解析

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这是一道思维题，对于输出的n个数，如果这n个数可以任意组合相加成1~m的数，则输出YES。

没做出来，看了解析

解析就两句话：

定义有n张纸币，且存在m，使得这n张纸币可以通过任意组合构成不超过m元的任意值，则n符合
用a[n+1]表示第n+1张纸币的值，当a[n+1] <= m+1 时n+1才符合
证明：
反证法：若a[n+1] > m+1，那么无论n+1张纸币如何组合，都无法构成m+1元
注意：计算前要将a[n]进行从小到大排序

原谅我理解能力差，看的云里雾里

下面是我的证明

• 对a数组排序。从小到大
• 数学归纳法

1. a[0]=1，a[0]~ a[0]能表示整数数列为1 ~ 1 (其中t=1，我们把这种从1到t的数列称作截尾)

2. 对a[i]，若a[0~i] 所能表示范围为 1 ~ t，则添上a[i+1]后所能表示的数列为【1，t】 ∪【a[i+1]，a[i+1]+t】
   (a[i+1]不参与组合时继承上次的范围即【1，t】，也可只选择a[i+1]或在之前的每种组合里都加上a[i+1]，此时数列为【a[i+1]，a[i+1]+t】)

   当两个数列可以无缝拼接，即a[i+1]<=t+1时，所表示数列更新为【1，a[i+1]+t】，显然这是截尾
   若两个数列不能无缝拼接，即a[i+1]>t+1时，所表示数列更新为【1，t】∪【a[i+1]，a[i+1]+t】
   （我们称这种中间有坑的数列为拖尾）
   那么如果出现拖尾会怎么样呢，我们在向下走一步看
   对于一个大于等于a[i+1]的数k，如果在a[i+1]后边加上k后，所表示的数列将更新为【1，t】∪【a[i+1]，a[i+1]+t】∪【k等等】，因为k>=a[i+1]>t的，所以 k是不可能填补拖尾的坑的。
   也就是说当a[i+1]>t+1时即会出现拖尾，而拖尾的坑是不可能被大于a[i+1]的数填补的

综上所述，当a[0~i]所表示的连续数列为【1，t】时，若a[i+1]<=t+1，则数列拓展为【1，t+a[i+1]】
若a[i+1]>t+1时，将产生拖尾，而由于数组a排序过，后面的所有数都大于等于a[i+1]，所以拖尾永远不可能被填补，连续的数列范围将会固定为【1，t】

代码如下

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define maxn 1005
using namespace std;
int a[maxn];
int n,m;
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>a[i];
    }
    sort(a,a+n);
    int t=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(a[i]>t+1)break;
        else{
            t+=a[i];
        }
    }
    if(m<=t)cout<<"YES";
    else cout<<"NO";
    return 0;
}
	

结语

其实这是在看了大佬的答案后来解释的，
要是让我从无到有写出来这道题，我只能说呵呵了。
唉，大佬不愧是大佬，思维题不愧是思维题