大量数据去重：Bitmap和布隆过滤器(Bloom Filter)

5TB的硬盘上放满了数据，请写一个算法将这些数据进行排重。如果这些数据是一些32bit大小的数据该如何解决？如果是64bit的呢？

在面试时遇到的问题，问题的解决方案十分典型，但对于海量数据处理接触少的同学可能一时也想不到什么好方案。介绍两个算法，对于空间的利用到达了一种极致，那就是Bitmap和布隆过滤器(Bloom Filter)。

Bitmap算法

在网上并没有找到Bitmap算法的中文翻译，在《编程珠玑》中有提及。与其说是算法，不如说是一种紧凑的数据存储结构。其实如果并非如此大量的数据，有很多排重方案可以使用，典型的就是哈希表。

public int[] removeDuplicates(int[] array) {
    int index = 0;
    Map<Integer, Boolean> maps = new LinkedHashMap<Integer, Boolean>();
    for(int num : array) {
        if(!maps.contains(num)) {
            array[index] = num;
            index++;
            maps.put(num, true);
        }
    }

    return newArray;
}

实际上，哈希表实际上为每一个可能出现的数字提供了一个一一映射的关系，每个元素都相当于有了自己的独享的一份空间，这个映射由散列函数来提供（这里我们先不考虑碰撞）。实际上哈希表甚至还能记录每个元素出现的次数，这样的数据结构完成这个任务有点“大材小用”了。

我们拆解一下我们的需求：

1. 集合中每个元素（示例中是int）有一个独享的空间
2. 找到一个到这个空间的映射方法

这个空间要多大？对于我们的问题来说，一个boolean就够了，或者说，1个bit就够了，我们只想知道某个元素出现过没有。如果为每个所有可能的值分配1个bit，32bit的int所有可能取值需要内存空间为：

2 32 bit=2 29 Byte=512MB 232bit=229Byte=512MB

那怎么样完成这个映射呢？其实就是Bitmap所要完成的工作了。如果我们把整型0x01、0x02、…、0x08的空间依次映射到一个Byte上，每个bit就代表这个int值是否出现过，初值为0（false）。

若扩展到整个int取值域，申请一个byte[]即可，示例代码如下：

public static final int _1MB = 1024 * 1024;

public static byte[] flags = new byte[ 512 * _1MB ];


public static void main(String[] args) {

    int[] array = {255, 1024, 0, 65536}

    int index = 0;
    for(int num : array) {
        if(!getFlags(num)) {
            //未出现的元素
            array[index] = num;
            index = index + 1;
            //设置标志位
            setFlags(num);
        }
    }
}

public static void setFlags(int num) {
    flags[num >> 3] |= 0x01 << (num & (0x07));
}

public static boolean getFlags(int num) {
    return flags[num >> 3] >> (num & (0x07)) & 0x01;
}

其实，就是按int从小到大的顺序依次摆放到byte[]中，仅涉及到一些除以2的整次幂和对2的整次幂取余的位操作小技巧。很显然，对于小数据量、数据取值很稀疏，上面的方法并没有什么优势，但对于海量的、取值分布很均匀的集合进行去重，Bitmap极大地压缩了所需要的内存空间。于此同时，还额外地完成了对原始数组的排序工作。缺点是，Bitmap对于每个元素只能记录1bit信息，如果还想完成额外的功能，恐怕只能靠牺牲更多的空间、时间来完成了。

布隆过滤器（Bloom Filter）

然而Bitmap不是万能的，如果数据量大到一定程度，如开头写的64bit类型的数据，还能不能用Bitmap？我们来算一算：

2 64 bit=2 61 Byte=2048PB=2EB 264bit=261Byte=2048PB=2EB

EB（Exabyte，艾字节）这个计算机科学中统计数据量的单位有多大，有兴趣的小伙伴可以查阅下资料。这个量级的Bitmap，已经不是人类硬件所能承担的了。我相信谁也不会想用集群去计算这么一个问题吧？所以Bitmap的好处在于空间复杂度不随原始集合内元素的个数增加而增加，而它的坏处也源于这一点——空间复杂度随集合内最大元素增大而线性增大。

所以接下来，我们要引入另一个著名的工业实现——布隆过滤器（Bloom Filter）。如果说Bitmap对于每一个可能的整型值，通过直接寻址的方式进行映射，相当于使用了一个哈希函数，那布隆过滤器就是引入了k(k>1) k(k>1) 个相互独立的哈希函数，保证在给定的空间、误判率下，完成元素判重的过程。下图中是k=3 k=3 时的布隆过滤器。

x,y,z x,y,z 经由哈希函数映射将各自在Bitmap中的3个位置置为1，当w w 出现时，仅当3个标志位都为1时，才表示w w 在集合中。图中所示的情况，布隆过滤器将判定w w 不在集合中。

那么布隆过滤器的误差有多少？我们假设所有哈希函数散列足够均匀，散列后落到Bitmap每个位置的概率均等。Bitmap的大小为m m 、原始数集大小为n n 、哈希函数个数为k k ：

1. 1个散列函数时，接收一个元素时Bitmap中某一位置为0的概率为：

   1−1m  1−1m

2. k k 个相互独立的散列函数，接收一个元素时Bitmap中某一位置为0的概率为：

   (1−1m ) k  (1−1m)k

3. 假设原始集合中，所有元素都不相等（最严格的情况），将所有元素都输入布隆过滤器，此时某一位置仍为0的概率为：

   (1−1m ) nk  (1−1m)nk

   
   某一位置为1的概率为：

   1−(1−1m ) nk  1−(1−1m)nk

4. 当我们对某个元素进行判重时，误判即这个元素对应的k k 个标志位不全为1，但所有k k 个标志位都被置为1，误判率ε ε 约为：

   ε≈[1−(1−1m ) nk ] k  ε≈[1−(1−1m)nk]k

   
   这个误判率应当比实际值大，因为将判断正确的情况也算进去了。根据著名极限lim n→∞ (1+1n ) n =e limn→∞(1+1n)n=e 可以得到：

   ε≈[1−e −nkm  ] k  ε≈[1−e−nkm]k

   
   ε ε 得到最优解1，当且仅当：

   k=mn ln2≈0.7mn  k=mnln⁡2≈0.7mn

   
   此时，误判率ε ε 与数集大小和

   ε≈(1−e −ln2 ) ln2mn  =0.5 ln2mn  =0.5 k  ε≈(1−e−ln⁡2)ln2mn=0.5ln2mn=0.5k

回到我们的问题中，有趣的是由于硬盘空间是限制死的，集合元素个数n n 的大小反而与单个数据的比特数成反比，数据长度为64bit时，

n=5TB64bit =5×2 40 Byte8Byte ≈2 34  n=5TB64bit=5×240Byte8Byte≈234

若以m=16n m=16n 计算，Bitmap集合的大小为2 38 bit=2 35 Byte=32GB 238bit=235Byte=32GB ，此时的ε≈0.0005 ε≈0.0005 。并且要知道，以上计算的都是误差的上限。

布隆过滤器通过引入一定错误率，使得海量数据判重在可以接受的内存代价中得以实现。从上面的公式可以看出，随着集合中的元素不断输入过滤器中(n n 增大)，误差将越来越大。但是，当Bitmap的大小m m （指bit数）足够大时，比如比所有可能出现的不重复元素个数还要大10倍以上时，错误概率是可以接受的。

最后我们所要做的，就是实现一个布隆过滤器，然后利用它对硬盘上的5TB数据一一判重，并写回硬盘中。这其中可能涉及到利用读写的buffer，待有时间补上。

附录

这里有一个google实现的布隆过滤器，我们来看看它的误判率：

import com.google.common.hash.BloomFilter;
import com.google.common.hash.Funnels;
import java.util.HashSet;
import java.util.Random;

public class testBloomFilter {

    static int sizeOfNumberSet = Integer.MAX_VALUE >> 4;

    static Random generator = new Random();

    public static void main(String[] args) {

        int error = 0;
        HashSet<Integer> hashSet = new HashSet<Integer>();
        BloomFilter<Integer> filter = BloomFilter.create(Funnels.integerFunnel(), sizeOfNumberSet);

        for(int i = 0; i < sizeOfNumberSet; i++) {
            int number = generator.nextInt();
            if(filter.mightContain(number) != hashSet.contains(number)) {
                error++;
            }
            filter.put(number);
            hashSet.add(number);
        }

        System.out.println("Error count: " + error + ", error rate = " + String.format("%f", (float)error/(float)sizeOfNumberSet));
    }
}

在这个实现中，Bitmap的集合m m 、输入的原始数集合n n 、哈希函数k k 的取值都是按照上面最优的方案选取的，默认情况下保证误判率ε=0.5 k <0.03≈0.5 5  ε=0.5k<0.03≈0.55 ，因而此时k=5 k=5 。

/**
 * Creates a {@link BloomFilter BloomFilter<T>} with the expected number of
 * insertions and a default expected false positive probability of 3%.
 */
public static <T> BloomFilter<T> create(Funnel<T> funnel, int expectedInsertions /* n */) {
    return create(funnel, expectedInsertions, 0.03); // FYI, for 3%, we always get 5 hash functions
}

而还有一个很有趣的地方是，实际使用的却并不是5个哈希函数。实际进行映射时，而是分别使用了一个64bit哈希函数的高、低32bit进行循环移位。注释中包含着这个算法的论文“Less Hashing, Same Performance: Building a Better Bloom Filter”，论文中指明其对过滤器性能没有明显影响。很明显这个实现对于m>2 32  m>232 时的支持并不好，因为当大于2 31 −1 231−1 的下标在算法中并不能被映射到。

enum BloomFilterStrategies implements BloomFilter.Strategy {
  /**
   * See "Less Hashing, Same Performance: Building a Better Bloom Filter" by Adam Kirsch and
   * Michael Mitzenmacher. The paper argues that this trick doesn't significantly deteriorate the
   * performance of a Bloom filter (yet only needs two 32bit hash functions).
   */
  MURMUR128_MITZ_32() {
    @Override public <T> boolean put(T object, Funnel<? super T> funnel,
        int numHashFunctions, BitArray bits) {
      long hash64 = Hashing.murmur3_128().hashObject(object, funnel).asLong();
      int hash1 = (int) hash64;
      int hash2 = (int) (hash64 >>> 32);
      boolean bitsChanged = false;
      for (int i = 1; i <= numHashFunctions; i++) {
        int nextHash = hash1 + i * hash2;
        if (nextHash < 0) {
          nextHash = ~nextHash;
        }
        bitsChanged |= bits.set(nextHash % bits.bitSize());
      }
      return bitsChanged;
    }

    @Override public <T> boolean mightContain(T object, Funnel<? super T> funnel,
        int numHashFunctions, BitArray bits) {
      long hash64 = Hashing.murmur3_128().hashObject(object, funnel).asLong();
      int hash1 = (int) hash64;
      int hash2 = (int) (hash64 >>> 32);
      for (int i = 1; i <= numHashFunctions; i++) {
        int nextHash = hash1 + i * hash2;
        if (nextHash < 0) {
          nextHash = ~nextHash;
        }
        if (!bits.get(nextHash % bits.bitSize())) {
          return false;
        }
      }
      return true;
    }
  };
  ...
}

1. WikiPedia - Bloom Filter ↩