复杂DP 1226 包子凑数问题

小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。

他发现这家包子铺有 N 种蒸笼，其中第 i 种蒸笼恰好能放 Ai 个包子。

每种蒸笼都有非常多笼，可以认为是无限笼。

每当有顾客想买 X 个包子，卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来，使得这若干笼中恰好一共有 X 个包子。

比如一共有 3 种蒸笼，分别能放 3、4 和 5 个包子。

当顾客想买 11 个包子时，大叔就会选 2 笼 3 个的再加 1 笼 5 个的（也可能选出 1 笼 3 个的再加 2 笼 4 个的）。

当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。

比如一共有 3 种蒸笼，分别能放 4、5 和 6 个包子。

而顾客想买 7 个包子时，大叔就凑不出来了。

小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。

输入格式

第一行包含一个整数 N。

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接下来 N 行，每行包含一个整数 Ai。

输出格式

输出一个整数代表答案。

如果凑不出的数目有无限多个，输出INF。

数据范围

1≤N≤100,
1≤Ai≤100

输入样例1：

2
4
5

输出样例1：

6

输入样例2：

2
4
6

输出样例2：

INF

样例解释
对于样例1，凑不出的数目包括：1, 2, 3, 6, 7, 11。
对于样例2，所有奇数都凑不出来，所以有无限多个。

思路

代码1(简单暴力版本)【朴素写法】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 10010;

int a[110];   //存数据
bool f[110][N];
int n;

int gcd(int a,int b)  //最大公约数的模板
{
    return b ? gcd(b,a % b) : a;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    int d = 0;  //最大公约数
    for(int i = 1;i <= n;i++)   
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        d = gcd(d,a[i]);
    }
    if(d != 1) puts("INF");
    else
    {
        f[0][0] = true;  //边界条件
        for(int i = 1;i <= n;i++)
            for(int j = 0;j < N;j++)
            {
                f[i][j] = f[i - 1][j];
                if(j >= a[i])  //有选择的空间
                    f[i][j] |= f[i][j - a[i]];
            }
    int res = 0;
    for(int i = 0;i < N;i++)
        if(!f[n][i])
            res++;
    printf("%d\n",res);
    }
    return 0;
}

代码2 （空间优化版本）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 10010;

int a[110];   //存数据
//bool f[110][N];
bool f[N];
int n;

int gcd(int a,int b)  //最大公约数的模板
{
    return b ? gcd(b,a % b) : a;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    int d = 0;  //最大公约数
    for(int i = 1;i <= n;i++)   
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        d = gcd(d,a[i]);
    }
    if(d != 1) puts("INF");
    else
    {
        //f[0][0] = true;  //边界条件
        f[0] = true;
        for(int i = 1;i <= n;i++)
            //for(int j = 0;j < N;j++)
            for(int j = a[i];j <N;j++)
            {
                //f[i][j] = f[i - 1][j];
                //f[j] = f[j];  //恒等式，可以删掉
                
                //if(j >= a[i])  //有选择的空间
                //    f[i][j] |= f[i][j - a[i]];
                      f[j] |= f[j - a[i]];
            }
        int res = 0;
        for(int i = 0;i < N;i++)
            //if(!f[n][i])
              if(!f[i])
                res++;
        printf("%d\n",res);
    }
    return 0;
}