考研高数——牛顿-莱布尼茨公式（N-L公式）的证明

即使证明课本定理一直是考研数学的争议点，但是 32 年来高数课本定理的证明已经考得差不多了，其中牛顿莱布尼茨公式： $\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b) - F(a)$ 便是没有考到的其中之一。

证明： $\int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(b) - F(a)$， 其中 $F(x) 为 f(x)$ 的原函数。

【证明】¹

可知： $F(x) = \int_a^x f(t) \mathrm{d}t + C$，其中， $C$为任意常数，则有：
$F(a) = \int_a^a f(t) \mathrm{d}t + C = C$

$F(b) = \int_a^b f(t) \mathrm{d}t + C$

故， $F(b) - F(a) = \int_a^b f(t) \mathrm{d}t$

即：

$F(b) - F(a) = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x$

证毕。

证明定理的争议在于在证明的过程中可不可以使用其他定理，比如我证明这道题的前提便是：“可知： $F(x) = \int_a^x f(t) \mathrm{d}t + C$ ”，所以 $F'(x) = f(x)$。但这个前提是否也需要证明，便是争议的地方。那末，我们也不妨证明一下：

设 $F(x) = \int_a^x f(t) \mathrm{d}t + C$，证明： $F'(x) = f(x)$。

【证明】²

根据导数定义：
$F'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x+\Delta x) - F(x)}{\Delta x}$

$=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\int_a^{x+\Delta x}f(t) \mathrm{d}t - \int_a^xf(t)\mathrm{d}t}{\Delta x}$

$=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\int_x^af(t) \mathrm{d}t + \int_a^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t}{\Delta x}$

$=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\int_x^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t}{\Delta x}$

根据积分中值定理³： $\exists \xi \in (x, x+\Delta x)$，使得：
$\int_x^{x+\Delta x}f(t)\mathrm{d}t = f(\xi)\cdot (x+\Delta x - x) = f(\xi)\cdot \Delta x$

故，
$F'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\xi)\cdot \Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} f(\xi)$

当 $\Delta x \to 0$ 时， $\xi \to x$，故
$F'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}f(\xi) = f(x)$

证毕。

那末，问题再次出现了，我们还要证明积分中值定理？

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1. 参考《牛顿-莱布尼茨公式的详细证明》 ↩︎

2. LaText语法参考《LaTeX 各种命令，符号》 ↩︎

3. 《积分中值定理的证明》 ↩︎