顾名思义，快速幂就是快速算底数的n次幂。其时间复杂度为 O(log₂N)， 与原始的的O(N)相比效率有了很大的提高。
比如，我们想要求2^6,一般我们会通过连乘5次来得到它的6次幂。但做下简单的改进就能减少连乘的次数，方法如下：
把6个2进行两两分组，比如：2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 => (2 * 2) * ( 2 * 2 ) * ( 2 * 2 )
这样变的好处是，你只需要计算一次2 * 2，然后将结果(2 * 2)连乘自己两次就能得到2^6，
即(2 * 2) ^ 3 = 2^6。算一下发现这次一共乘了3次，少于原来的5次。
以上都是取一个具体的数来作为最小单位的长度，这样做虽然能够改进效率，但缺陷也是很明显的，取个极限的例子（可能有点不恰当，但基本能说明问题），当n无穷大的时候，你现在所取的长度其实和1没什么区别。所以就需要我们找到一种与n增长速度”相适应“的”单位长度“，那这个长度到底怎么去取呢？？？这点是我们要思考的问题。
大家首先要认识到这一点：任何一个整数N，都能用二进制来表示。。这点大家都应该知道，但其中的内涵真的很深很深（这点笔者感触很深，在文章的最后，我将谈谈我对的感想）！！
计算机处理的是离散的信息，都是以0,1来作为信号的处理的。可想而知二进制在计算机上起着举足轻重的地位。它能将模拟信号转化成数字信号，将原来连续的实际模型，用一个离散的算法模型来解决。
好了，扯得有点多了，不过相信这写对下面的讲解还是有用的。
回头看看矩阵的快速幂问题，我们是不是也能把它离散化呢？显然采取这样的方式计算时因子数将时间复杂度为log(n)(原来的因子数是n)，不仅这样，因子间也是存在某种联系的。
下面举一个例子说明下
如果要求 2^156 , 而156(10)=10011100(2)
其中10011100有4个1，并且分别出现在(从右到左,下标从0开始)为 2,3,4,7
分别对应上面的 4=2^2、 8= 2^3、 16= 2^4、 128= 2^7
那么 2^156 => (2^4) * (2^8) * (2^16)* (2^128)
从这可以看出n的二进制中有多少个1,就代表有多少数个相乘
代码如下（这里由于2^156的结果过大,因此结果模 10^9 + 7 )
public class Test {
public static void main(String[] args) {
Long ans = 1L;
Long i = 2L;
Long n = 156L;
Long mod = 1000000007L;
//从二进制数右边开始进行扫描
while (n!=0){
//二进制数有多少个1就执行多少次。
if ((n&1)==1){
//如果为奇数则表示此时扫描的位置为1
ans = (ans*i)%mod;
}
i = i*i%mod;
//每进行一次循环都将n除2(即将指针向左移,初始为0(即最开始为最右边))
n >>=1;
}
System.out.println(ans);
}
}
参考:求矩阵的n次方 快速幂
