此处，我们做细节处理，将像素格划分为上半和下半，用 $int(y+0.5)$ 判断是上方还是下方涂色。
同时该算法只能画 $|k| \leq1$ ,超过则会出现离散的点，失真。可以采用：
$\left\{ \begin{aligned} y_{i+1} = y_i+k( ︱k︱＜1，\Delta x =1）\\ \\ x_{i+1} = x_i+\frac{1}{k}( ︱k︱＞1，\Delta y =1） \end{aligned} \right.$
优点：简单直观，迭代的算法
缺点：浮点运算，每步都需四舍五入取整。

中点画线法

中点画线引言

利用后一中点与前一中点的函数关系，采用了直线的一般式方程：
$F(x,y)=y-\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}x-b$
认为 $\Delta x>0$ ,即：
$F(x,y)=(\Delta x)y-(\Delta y)x-(\Delta x)b$
直线方程将平面分为三个区域：
$\left\{ \begin{aligned} F(x, y) = 0(直线上的点)\\ F(x, y) > 0(直线上方的点) \\ F(x, y) < 0(直线下方的点) \end{aligned} \right.$
在这里插入图片描述
当 $M$ 在 $Q$ 的下方，则说明 $P_u$ 离直线近，应为下一个像素点；当 $M$ 在 $Q$ 的上方，应取 $P_d$ 为下一点。但是…每一个像素的计算量是4个加法，两个乘法。比DDA算法的计算量大多了，毫无可取之处！

中点画线改进

根据上一次计算的 $d$ 值判断接下来 $d$ 值的变化

若 $d<0$ 时，则取右上方像素 $p_u(x_i+1, y_i+1)$ 。判断再下一
像素，则要计算：
$\begin{aligned} d_{new}&=F(x_i+2,y_i+1.5)\\ &=a(x_i+1)+b(y_i+0.5)+c+a\\ &=F(x_i+1,y_i+0.5)+a+b\\ &=d_{old}+a+b \end{aligned}$
若 $d \geq 0$ 情况，则取正右方像素 $(x_i+1, y_i)$ , 判断下一个像素位置要计算：
$\begin{aligned} d_{new}&=F(x_i+2,y_i+0.5)\\ &=a(x_i+1)+b(y_i+0.5)+c+a\\ &=F(x_i+1,y_i+0.5)+a\\ &=d_{old}+a \end{aligned}$
迭代需要初始值 $d_0$
$\begin{aligned} d_0&=F(x_0+1,y_0+0.5) \\&=a(x_0+1)+b(y_0+0.5)+c \\&=a+0.5b \end{aligned}$
由于我们只用 $d$ 的符号，所以使用 $2d$ 摆脱小数运算，更新后的公式为：
$\left\{ \begin{aligned} &d_0= 2a+b\\ &d_{old}=d_{new}+2a+2b(d<0) \\ &d_{old}=d_{new}+2a(d \geq 0) \end{aligned} \right.$

Bresenham画线法

Bresenham基本思路

采用增量计算，检查误差项的符号，就可以确定该列的所求像素。

直线的起始点在像素中心，所以误差项d的初值
$\left\{ \begin{aligned} &d_0＝0\\ &d_{new}=d_{old}+k\\ &x_{i+1}= x_i+1(右移一格)\\ &y_{i+1}= \left\{ \begin{aligned} &y_i+1,d=d-1&(d\geq0.5)(上移一格)\\ \\ &y_{i}&(d < 0.5)(保持不动) \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right.$

Bresenham画线改进

令 $e=d-0.5$
$\left\{ \begin{aligned} &e_0=-0.5\\ &e_{new}=e_{old}+k\\ &x_{i+1}= x_i+1(右移一格)\\ &y_{i+1}= \left\{ \begin{aligned} &y_i+1,d=d-1&(e\geq0)(上移一格)\\ \\ &y_{i}&(e < 0)(保持不动) \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right.$
$e*2$ 将 $e_0$ 变为整数，由于 $p_0(x_0,y_0),p_1(x_1,y_1)$ 皆为整数，故 $d* \Delta x$ 即为斜率乘 $\Delta x$ 即为 $\Delta y$ 为整数，故第二步改进令：
$e=e*2*\Delta x$
判断 $e$ 的正负，更新后的公式为：
$\left\{ \begin{aligned} &e= -\Delta x(初始值)\\ &e_{new}= e_{old}+2\Delta y(初始值)\\ &x_{i+1}= x_{i}+1(右移一格)\\ &y_{i+1}= \left\{ \begin{aligned} &y_i+1,e=e-2\Delta x&(e\geq0)(上移一格)\\ \\ &y_{i}&(e < 0)(保持不动) \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right.$