Law Of Large Numbers - 大数定律 - 大数定理
大数
实质上可以理解为多数
。
在随机事件的大量重复出现中,往往呈现几乎必然的规律,这个规律就是大数定律。这个定理就是在试验不变的条件下,重复试验多次,随机事件的频率近似于它的概率。偶然中包含着某种必然。
大数定律分为弱大数定律和强大数定律。
大数定律是一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。大数定律并不是经验规律,而是在一些附加条件上经严格证明了的定理,它是一种自然规律因而通常不叫定理而是大数定律。
如果统计数据足够大,那么事物出现的频率就能无限接近他的期望值。
1. 切比雪夫大数定理 (切比雪夫不等式)
设
是相互独立的随机变量 (或者两两不相关),他们分别存在期望
和方差
。若存在常数
使得,
则对任意小的正数
,满足下列公式
随着样本容量 n
的增加,样本平均数将接近于总体平均数。从而为统计推断中依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。
切比雪夫大数定理并未要求 同分布,相较于伯努利大数定律和辛钦大数定律更具一般性。
2. 伯努利大数定律
设
是
次独立试验中事件 A
发生的次数,且事件 A
在每次试验中发生的概率为
,则对任意正数
,
伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例,当 n
足够大时,事件 A
出现的频率将几乎接近于其发生的概率,即频率的稳定性。
3. 辛钦大数定律
设 为独立同分布的随机变量序列,若 的数学期望存在,则服从大数定律。对任意正数 ,
辛钦大数定律指出用算术平均值来近似实际真值是合理的,而在数理统计中,用算术平均值来估计数学期望就是根据此定律,这一定律使算术平均值的法则有了理论依据。
对于弱大数定律,上述收敛是指依概率收敛 (in probability)。
对于强大数定律,上述收敛是指几乎必然收敛 (almost surely/with probability one)。
大数定律通俗来讲就是样本数量很大的时候,样本均值和真实均值充分接近。大数定律与中心极限定理一起,成为现代概率论、统计学、理论科学和社会科学的基石。