1 小数定律

喜欢总结规律是人类的天性。例如，人们抱着娱乐或者认真的态度总结了世界杯足球赛的各种“定律”，其中比较著名的有“巴西队的礼物”。

“巴西队的礼物”是指：只要巴西夺冠，下一届的冠军就将是主办大赛的东道主，除非是巴西队自己夺冠。

我们来看下历史下真实的数据：1962年巴西夺冠后，4年后英格兰在本土称雄。1970年巴西三夺金杯，1974年轮到东道主西德捧杯。1994年巴西在美国夺冠，下一届东道主法国队在本土夺冠。1958年，巴西队在瑞典夺冠，4年后他们未免成功，收回了“礼物”。

看起来这个定律很有意思，但是这一定律在2006年被打破。

2006年在德国的世界杯，德国和巴西队都没有夺冠，而是由我们中国人耳熟能详的主队里皮率领的意大利队夺冠。

还有一些未被打破的定律，这些看似没有规律的神奇定律，之所有神奇，完全纯属巧合。

世界杯每4年举办一次，总共才举办了20多届。只要数据足够少，我们总能发现一些神奇的定律。

如果数据少，随机现象可以看起来很不随机。甚至非常整齐，好像真的有规律一样。

那么，什么是小数定律呢？

小数定律是说，如果统计数据很少，那么事件就表现为各种极端情况，而这些情况都是偶然事件，跟它的期望值一点关系也没有。

比如人们知道投硬币出现正反面的概率都是50%，于是在连续出现了5个正面以后，却倾向于下一次出现的反面概率较大。

这就好比盲人摸象，你看到的只是偶然事件。

所以，理解“小数定律”最大的一个好处就是你不会再轻易地大惊小怪了，也不会有个人偏见了。

如果统计数据不够大，那就什么也说明不了。

正因为如此，我们才不能只凭自己的经验，哪怕加上朋友和家人的经验，去对事物进行判断。我们的经验特别有限。别看个例，看大规模统计。

小数定律里的“跟它的期望值一点关系也没有”，这里的期望值就是我们后面所聊到的“大数定律”。

2 什么是大数定律

大数定律就是我们从统计学中推测真相的理论基础。

大数定律说如果统计数据足够大，那么事物出现的频率就能无限接近它的期望值。

那么，什么是事物的期望呢？

某个事件的期望，也就是收益，实际上各种不同结果出现的概率乘结果的收益的和。

拿我们最熟悉的投色子举例，游戏规则是投中1点获得1元，投中2点获得2元，以此类推。

那么，这个事件的期望是多少呢？

显然是：

$1\times 1/6+2\times 1/6+3\times 1/6+4\times 1/6+5\times 1/6+6\times 1/6=3.5$

这个期望3.5代表什么意思呢？

也就是说，只要你一直玩下去，你每次游戏的预期收益是3.5元。可能你某次赢了1元，某一次赢了6元，只要你长期投下去，你平均下来每次就赢3.5元。

下面是前面投色子的动态演示过程，横轴代表投色子的次数，纵轴表示期望值。

你会发现，当抛色子次数少时，期望波动很大，这就是小数定律，如果统计数据很少，那么事件就表现为各种极端情况，而这些情况都是偶然事件，跟它的期望值一点关系也没有。

但是当你抛色子次数大于60时，就会越来越接近期望值3.5。这就说明了，如果统计数据足够大，那么事物出现的频率就会越来越接近它的期望值。

粗略看一下，抛出色子点数是3.5似乎是一个无效数据，因为色子的每一面都是整数，不会出现小数。

但是，期望是一个非常有用的参考数据。就像我们刚刚说的抛色子游戏，你可以通过比较成本投入和期望收益，你就能知道这件事情值得不值得。

如果每玩1次需要缴纳5元，那么你玩1万次，你投入是5万元，那么你的收益将是3.5万元。显然，你已经知道你要是玩1万次的结局了。你必然会输掉1个带有1080ti显卡的主机。

本篇博客是基于知乎上猴子的回答，进行的整理。非常感谢猴子的讲解。