一，引言
降维是对数据高维度特征的一种预处理方法。降维是将高维度的数据保留下最重要的一些特征，去除噪声和不重要的特征，从而实现提升数据处理速度的目的。在实际的生产和应用中，降维在一定的信息损失范围内，可以为我们节省大量的时间和成本。降维也成为了应用非常广泛的数据预处理方法。
降维具有如下一些优点：
（1）使得数据集更易使用
（2）降低算法的计算开销
（3）去除噪声
（4）使得结果容易理解
PCA(principal Component Analysis)，即主成分分析方法，是一种使用最广泛的数据压缩算法。在PCA中，数据从原来的坐标系转换到新的坐标系，由数据本身决定。转换坐标系时，以方差最大的方向作为坐标轴方向，因为数据的最大方差给出了数据的最重要的信息。第一个新坐标轴选择的是原始数据中方差最大的方法，第二个新坐标轴选择的是与第一个新坐标轴正交且方差次大的方向。重复该过程，重复次数为原始数据的特征维数。
通过这种方式获得的新的坐标系，我们发现，大部分方差都包含在前面几个坐标轴中，后面的坐标轴所含的方差几乎为0,。于是，我们可以忽略余下的坐标轴，只保留前面的几个含有绝不部分方差的坐标轴。事实上，这样也就相当于只保留包含绝大部分方差的维度特征，而忽略包含方差几乎为0的特征维度，也就实现了对数据特征的降维处理。
那么，我们如何得到这些包含最大差异性的主成分方向呢？事实上，通过计算数据矩阵的协方差矩阵，然后得到协方差矩阵的特征值及特征向量，选择特征值最大（也即包含方差最大）的N个特征所对应的特征向量组成的矩阵，我们就可以将数据矩阵转换到新的空间当中，实现数据特征的降维（N维）。
既然，说到了协方差矩阵，那么这里就简单说一下方差和协方差之间的关系，首先看一下均值，方差和协方差的计算公式：
由上面的公式，我们可以得到一下两点区别：
（1）方差的计算公式，我们知道方差的计算是针对一维特征，即针对同一特征不同样本的取值来进行计算得到；而协方差则必须要求至少满足二维特征。可以说方差就是协方差的特殊情况
具体的代码为：
#导入numpy库
from numpy import *
#解析文本数据函数
#@filename 文件名txt
#@delim 每一行不同特征数据之间的分隔方式，默认是tab键'\t'
def loadDataSet(filename,delim='\t')
#打开文本文件
fr=open(filename)
#对文本中每一行的特征分隔开来，存入列表中，作为列表的某一行
#行中的每一列对应各个分隔开的特征
stringArr=[line.strip().split(delim) for line in fr.readlines()]
#利用map()函数，将列表中每一行的数据值映射为float型
datArr=[map(float.line)for line in stringArr]
#将float型数据值的列表转化为矩阵返回
return mat(datArr)
#pca特征维度压缩函数
#@dataMat 数据集矩阵
#@topNfeat 需要保留的特征维度，即要压缩成的维度数，默认4096
def pca(dataMat,topNfeat=4096):
#求数据矩阵每一列的均值
meanVals=mean(dataMat,axis=0)
#数据矩阵每一列特征减去该列的特征均值
meanRemoved=dataMat-meanVals
#计算协方差矩阵，除数n-1是为了得到协方差的无偏估计
#cov(X,0) = cov(X) 除数是n-1(n为样本个数)
#cov(X,1) 除数是n
covMat=cov(meanRemoved,rowvar=0)
#计算协方差矩阵的特征值及对应的特征向量
#均保存在相应的矩阵中
eigVals,eigVects=linalg.eig(mat(conMat))
#sort():对特征值矩阵排序(由小到大)
#argsort():对特征值矩阵进行由小到大排序，返回对应排序后的索引
eigValInd=argsort(eigVals)
#从排序后的矩阵最后一个开始自下而上选取最大的N个特征值，返回其对应的索引
eigValInd=eigValInd[:-(topNfeat+1):-1]
#将特征值最大的N个特征值对应索引的特征向量提取出来，组成压缩矩阵
redEigVects=eigVects[:,eigValInd]
#将去除均值后的数据矩阵*压缩矩阵，转换到新的空间，使维度降低为N
lowDDataMat=meanRemoved*redEigVects
#利用降维后的矩阵反构出原数据矩阵(用作测试，可跟未压缩的原矩阵比对)
reconMat=(lowDDataMat*redEigVects.T)+meanVals
#返回压缩后的数据矩阵即该矩阵反构出原始数据矩阵
return lowDDataMat,reconMat
上述降维过程，首先根据数据矩阵的协方差的特征值和特征向量，得到最大的N个特征值对应的特征向量组成的矩阵，可以称之为压缩矩阵；得到了压缩矩阵之后，将去均值的数据矩阵乘以压缩矩阵，就实现了将原始数据特征转化为新的空间特征，进而使数据特征得到了压缩处理。
转自：https://www.cnblogs.com/zy230530/p/7074215.html