データ構造 - バイナリツリー (1)

1. ツリーの概念と構造

1.1 ツリーの概念

ツリーは非線形データ構造であり、n (n>=0) 個の有限ノードで構成されます。階層関係のあるコレクション。逆さまの木、つまり根が上を向き、葉が下を向いているように見えるので、木と呼ばれます。

1. ルートノードと呼ばれる特別なノードがあります。ルートノードには先行ノードがありません。
2. ルートノードを除く残りのノードは、M (M>0) 個の素集合 T1、T2、...、Tm に分割され、それぞれが Ti (1<= i<= m) は、ツリーと同様の構造を持つ別のサブツリーです。各サブツリーのルートノードには先行ノードが 1 つだけあり、0 個以上の後続ノードを持つことができます。
3. したがって、ツリーは再帰的に定義されます。

注: ツリー構造では、サブツリー間に交差があってはなりません。交差しないと、ツリー構造になりません。

1.2 ツリーの関連概念

ノードの次数: ノードに含まれるサブツリーの数をノードの次数と呼びます。上の図に示すように、A は 6 です。< a i=2 >リーフノードまたはターミナルノード: 次数 0 のノードはリーフノードと呼ばれます; 上の図に示すように: B、C、H、I... などのノード< a i=4>非終端ノードまたは分岐ノード: 0 以外の次数を持つノード。上の図に示すように: D などのノード、E、F、G... はブランチノードです。親ノードまたは親ノード: ノードに子ノードが含まれる場合、このノードは親と呼ばれます。上の図に示すように、A は B の親ノードです。: m (m>0) の互いに素なツリーの集合はフォレストと呼ばれます。 フォレスト: 特定のノードをルートとするサブツリー内のノードはすべて、このノードの子孫と呼ばれます。上の図に示すように、すべてのノードは A の子孫です。子孫: ルートからノードへのパスブランチ上のすべてのノード。上の図に示すように: A はすべてのノードの祖先です。ノードの祖先: 親ノード同じレイヤー上のは互いにいとこです。上の図に示すように、H と I は互いに兄弟ノードです。いとこノード: ツリー内のノードの最大レベル。上に示すように: ツリーの高さは 4 です。ツリーの高さまたは深さ: ルートの定義から開始すると、ルートは第 1 レベル、ルートの子ノードは第 2 レベル、というようになります。ノード : ツリーでは、最大のノードの次数はツリーの次数と呼ばれます。上の図に示すように、ツリーの次数は 6 です。ツリーの次数:同じ親ノードを持つノードは兄弟ノードと呼ばれます。上に示すように、B と C は兄弟ノードです。兄弟ノード: のルートノードノードに含まれるサブツリーは、ノードの子ノードと呼ばれます。上の図に示すように、B は A の子ノードです。子ノードまたは子ノード

1.3 木の表現

木構造は線形テーブルに比べて複雑で、それを保存したり表現したりするのが面倒です値の範囲を保存するので、ノードとノード間の関係も保存する必要があります実際には、さまざまな方法があります親表現、子表現、子親表現、子兄弟表現などのツリーを表現します。ここでは、子供の兄弟の最も一般的に使用される表現を簡単に理解します。

typedef int DataType;
struct Node
{
   struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
   struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
   DataType _data; // 结点中的数据域
};

2. 二分木の概念と構造

2.1 コンセプト

バイナリツリーはノードの有限セットです。セットは次のとおりです:
1. または空
2. ルートノードによって追加されます。2 つのノードで構成されます。バイナリツリー。左サブツリーおよび右サブツリーとも呼ばれます。

上の写真からわかるように:

1. バイナリツリーには次数が 2 より大きいノードはありません
2. バイナリツリーのサブツリーは左と右のサブツリーに分割できますが、順序は区別できません。逆になるので、二分木は順序付けられた木になります

注: バイナリツリーは次の状況で構成されます。

2.2 特殊なバイナリツリー:

1. 完全なバイナリツリー: バイナリツリー。各レイヤのノード数が最大値に達すると、バイナリツリーは完全なバイナリツリー。つまり、バイナリツリーのレベル数が K で、ノードの総数がである場合、それは完全なバイナリツリーです。
2. 完全なバイナリツリー: 完全なバイナリツリーは非常に効率的なデータ構造です。完全なバイナリツリーが導出されます。完全なバイナリツリーから。深さ K でノードが n のバイナリツリーの場合、各ノードが深さ K の完全なバイナリツリー内の 1 から n までの番号が付けられたノードと 1 対 1 で対応する場合にのみ、完全なバイナリツリーと呼ばれます。完全なバイナリツリーは特別な種類の完全なバイナリツリーであることに注意してください。

2.3 二分木の性質

1. ルートノードのレベル数が 1 の場合、非ノードの i 番目のレベルには最大 2^(i-1) 個のノードが存在します。 -空のバイナリツリー。
2. ルートノードのレベル数が 1 の場合、 深さ h のバイナリツリーの最大ノード数は 2^h-1 .
3. 任意の二分木について、 次数が 0 の場合、葉ノードが n0 で次数 2 の枝の場合、ノードの数は n2 になります。 n0=n2 +1
4.ルートノードは 1、n 個のノードを持つ完全なバイナリツリーの深さは h= log2(n+1) です。(ps: log2(n+1) は底 2 と n の対数です)対数として +1)。< a i=10> 5. n 個のノードを持つ完全なバイナリツリーの場合、すべてのノードが配列内で上から下、左から右の順序で 0 から始まる番号が付けられている場合、シリアル番号 i のノード:

1. i>0 の場合、位置 i のノードの親番号: (i-1)/2; i=0、i はルートノード番号であり、親ノードは存在しません
2 . 2i+1
3. 2i+2

2.4 バイナリツリーの記憶構造

バイナリツリーは通常、シーケンシャル構造とチェーン構造の 2 つの構造を使用して保存できます。
1. シーケンシャルストレージ
シーケンシャル構造ストレージでは、ストレージに配列が使用されます。一般に、配列は完全なバイナリツリーではないため、完全なバイナリツリーを表す場合にのみ適しています。、スペースの無駄が生じます。実際には、ストレージに配列を使用するのはヒープだけですが、ヒープについては次の章で具体的に説明します。バイナリツリーの順次ストレージは、物理的には配列であり、論理的にはバイナリツリーです。

2. リンクストレージ
バイナリツリーのリンクストレージ構造は、リンクリストを使用してバイナリツリーを表すこと、つまり、チェーンを使用して論理的なものを示すことを意味します。要素の関係。通常の方法では、リンクリストの各ノードは、データフィールドと左右のポインタフィールドの 3 つのフィールドで構成されます。左ポインタと右ポインタは、左の子と右の子がポイントするリンクのストレージアドレスを与えるために使用されます。ノードのそれぞれが配置されます。連鎖構造は二分鎖と三分岐鎖に分けられ、現在は二分鎖を中心に学習していますが、後の講座では赤黒木や三分岐鎖などの高次データ構造について学習していきます。

3. 二分木の逐次構造と実装

3.1 二分木の逐次構造

通常のバイナリツリーは、無駄な領域が多くなる可能性があるため、配列での保存には適していません。完全なバイナリツリーは、順次構造の保存に適しています。実際には、通常、シーケンシャル構造の配列を使用してヒープ (バイナリツリー) を保存します。ここでのヒープとオペレーティングシステムの仮想プロセスアドレス空間内のヒープは 2 つであることに注意してください。 1 つはデータ構造、もう 1 つはオペレーティングシステムのメモリを管理する領域の分割です。

3.2 ヒープの概念と構造

ヒープのプロパティ:
ヒープ内のノードの値は、常にその親ノードの値よりも大きくも小さくもありません。
ヒープは常に完全なバイナリツリーです。

3.3 ヒープの実装

3.3.1 ヒープの定義

配列はヒープの一番下に定義できます。

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
	HPDataType* a;
	int size;
	int capacity;
}HP;

3.3.2 ヒープの初期化

void HeapInit(HP* php)
{
	assert(php);

	php->a = NULL;
	php->size = 0;
	php->capacity = 0;
}

3.3.3 ヒープの破壊

void HeapDestroy(HP* php)
{
	assert(php);

	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

3.3.4 データの挿入

まず、スペースがいっぱいかどうかを判断し、いっぱいの場合は拡張します。次に、三項演算子を使用して最初の拡張かどうかを判断し、対応する拡張を実行してから、realloc の特性を使用して容量を拡張または調整します。 size の位置にデータを挿入し、次に size++ を挿入します。しかし、今はヒープではないので、上方調整を使用して調整する必要があります。

void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
	assert(php);

	// 扩容
	if (php->size == php->capacity)
	{
		int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * newCapacity);
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc fail");
			exit(-1);
		}

		php->a = tmp;
		php->capacity = newCapacity;
	}

	php->a[php->size] = x;
	php->size++;

	AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

3.3.5 データを上方調整する

このような小さなヒープデータのセットがあり、20 が挿入されて上方に調整されたとします。

最初のステップは、添字parent=(child-1)/2 を通じて親ノードを見つけ、親ノードかどうかを判断することです。親ノードがこの子ノードより小さい場合、調整は必要ありませんが、それ以外の場合はスワップが必要です。交換後は、添え字 child=parent となり、下の図では 10 が 4 に置き換えられます。次に、親の添字を再計算します。この時点では親はまだ 4 なので、parent=(parent-1)/2 によって父の添字が計算され、父ノードが息子ノードより小さくなるか、このノードが調整されるまで上向きに判断されます。ルートノードに。

したがって、この関数は親ノードの計算から開始し、次に while ループに入りますが、ループの終了条件は child=0、つまりルートノードの位置に調整されることを意味します。ループに入るときは、まず息子ノードと父ノードのサイズを決定します。息子ノードが父ノードより小さい場合は交換を開始します。Swap 関数を使用して値を交換し、息子ノードの添字を調整します。息子ノードが父ノードよりも大きい場合、息子ノードもループから抜け出します。

void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
	HPDataType tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (parent - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

3.3.6 印刷ヒープ

size-1 は最後のデータの添字であるため、左閉右開の for ループを作成するだけです。

void HeapPrint(HP* php)
{
	assert(php);

	for (size_t i = 0; i < php->size; i++)
	{
		printf("%d ", php->a[i]);
	}
	printf("\n");
}

3.3.7 データを下方調整する

配列表の末尾の削除と末尾の挿入の効率が良いため、末尾ノードと先頭ノードの位置を交換し、末尾ノードのサイズを削除することができます。

データ 20 がヘッドノードに配置されると、この小さなヒープを維持できなくなるため、下方に調整する必要があります。下方に調整することは、子ノード child=parent*2+1 を見つけて書き込むことと同じです。 while ループの終了条件は、child=n が範囲外であることです。この時点でもう 1 つ行うことは、左右の子のうち小さい方の子を見つけることです。if child+1

void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child<n)
	{
		//找小的孩子
		if (child + 1 < n && a[child] > a[child + 1])
		{
			child = child + 1;
		}
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			//继续往下调整
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

3.3.8 データの削除

まずルートノードとテールノード、サイズを交換し、次に下方に調整します。

void HeapPop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);
	Swap(&php->a[0],&php->a[php->size - 1]);
	--php->size;
	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

3.3.9 ルートノードデータの取得


HPDataType HeapTop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);
	return php->a[0];
}

3.3.10 ヒープが空かどうかを確認する

bool HeapEmpty(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size == 0;
}

今日の共有はここで終わります、読んでくださった皆様、ありがとうございました！