キュー理論の基本概念
問題の声明
サービス機器を追加すると投資の増加や無駄な無駄が発生し、サービス機器が少なすぎると行列現象が深刻になり、顧客や社会に悪影響を及ぼします。
したがって、管理者は、サービスの品質を向上させ、コストを削減するために、この 2 つのバランスをどのように取るかを検討する必要があります。
待ち行列理論の研究内容*
ランダム サービス システム理論とも呼ばれるキュー理論 (キューイング理論) は、問題を研究し解決するためのものです。混雑しているという問題から発展した応用数学の一分野であり、その研究内容は次の 3 つの部分からなります。
- 性の問題：さまざまな問題の研究待ち行列システムの確率的規則性主に、チームメンバーの分布、待機時間の分布、繁忙期の分布を調査し、過渡状態と定常状態の 2 つの状況を含みます。
- 最適化問題
静的最適>>最適な設計
動的に最適な>> 最適な動作 - 統計的推論問題: キューイング システムのタイプの決定
①一般的な目安
- 各顧客は顧客ソース（全体）から開始し、サービス機関（サービスデスク、ウェイター）に到着する前に列に並んでサービスを受け、サービスが完了すると退場します。
- キュー構造はキューの数と配置を指し、キュー ルールとサービス ルールはキュー システムで顧客がサービスを受けるルールと順序を記述します。
キューイング システムは次のもので構成されます。
- 一定期間に平均して何人の顧客が来店しますか?
- どのような法則に従って到着しますか (入力プロセスはどのような分布に従いますか)?
- システムに入る顧客はどのようなルールに従って整列していますか？
- サービス組織はいくつのサービス施設を設置していますか? アレンジメントフォーム？
- サービス時間はどのような分布に従いますか?
サービス組織*
キューイングシステム（3大）の構成と特徴※
入力プロセス
- 全体的な顧客: 制限付き、無制限。
- 顧客の到着方法: 単一、バッチ。
- 顧客到着間隔時間: 決定、ランダム。
- 顧客到着の独立性: 独立しているが、独立していない。
- 入力プロセスの定常性: 時間に依存しない (定常)、時間に依存する (非定常)。
キューイングとキューイングのルール
- 即時制（ロス制）
- 待機システム
- 早い者勝ち: FCFS
- 先着順: LCFS
- ランダムサービス：SIRO
- 優先サービス：PR
- チームの能力: 制限付き、無制限、有形、無形。
- キューの数: 単一列、複数列。
サービス組織
- サーバーの数: なし、単一、複数。
- キューとサービスデスクの組み合わせ
- サービス モード: 単一顧客、バッチ顧客。
- サービス時間: 決定、ランダム。サービス時間および到着間隔時間の少なくとも一方はランダムである。
- サービス時間の分布は一定です。
キューイング理論の基本的な分布
キュー理論における一般的な分布: ポアソン分布、指数分布、アーラン分布_Norstc のブログ-CSDN blog_erlang 分布
キューイングシステムの分類*
オペレーション リサーチ - キュー理論 (学習ノート) - 知る (zhihu.com)
一般に、キュー モデルを表すには、X / Y / Z / A / B / CX/Y/Z/A/B/C の6 つの特徴を使用できます。X / Y / Z / A / B / C
インジケーター
×: ×:バツ:連続する到着間の間隔の分布、一般に負の指数分布
そして: そして:Y:サービス時間の分布、一般に負の指数分布または決定論的分布
グーグー：Z: 1 つ以上のサービスデスクの数
答：答：あ:システム内の顧客数の制限、システム内の最大顧客数に制限があるかどうか
B：B：B:顧客ソースの数、顧客ソースが制限されているかどうか
子：子：C:サービスルール、先着順または後着順など。
注: このセクションでは先着順のみが考慮されるため、最後の特性サービス ルールは省略されます。
一般的に使用される記号は次のとおりです。
んん：M:負の指数分布
D：D：D:決定論的
E k : k E_k:kEｋ:k次数のアーラン分布
ガ: ガ:G：一般サービス時間配分
標準のM / M / 1 / ∞ / ∞ M/M/1/\infty/\inftyなどM / M / 1 / ∞ / ∞モデルの意味: 入力プロセスはポアソン分布に従い、サービス時間は負の指数分布に従い、システム容量は無制限、顧客ソースは無限です
共通指標*
-
船長：Ls LsL s : システムの長さは、システム内の顧客の数を指します。
-
キューの長さ: L q LqL q : キューの長さは、キュー内の顧客の数を指します。
-
システム内の顧客数 (L s ) = 列に並んでいる顧客の数 (L q ) + サービスを受けている顧客の数 システム内の顧客数 (Ls) = 列に並んでいる顧客の数 (Lq) +サービスを受けている顧客の数システム内の顧客の数( L )=並んでいる顧客の数( L q )+サービスを受けている顧客の数_
-
滞在期間: W s WsW s : 滞在時間とは、顧客が順番待ちサービスシステムに入場してからサービスが終了して退場するまでの平均滞在時間を指し、期待値はW s WsWs _
-
待ち時間：W q W qW q : 待ち時間とは、サービスを待っている顧客の平均待ち時間を指し、期待値はW q WqWq _
-
繁忙期: 顧客がアイドル状態のサービス代理店に到着してから、サービス代理店が再びアイドル状態になるまでの時間の長さ、つまり、サービス代理店が継続的に忙しい時間の長さ。これは、サービス代理店の作業強度に関連します。ウェイター。繁忙期と繁忙期にサービスを提供した平均顧客数は、サービス組織の効率を測定する指標です。
-
損失率
-
サービスの強度
システム状態の確率分布*
時間にttt、システム状態はnnnの確率はP n ( t ) P_n(t)として表すことができます。Pん( t )
例
M/M/1モデル
修理工場には修理員が 1 人しかいない 修理に来る顧客の数はポアソン分布に従い、1 時間あたり平均 3 人 修理時間は負の指数分布に従い、平均所要時間は10分で見つけます。
- 修理工場のフリータイム確率
- 店内に4人の客がいる確率
- 店内に少なくとも 1 人の顧客がいる確率
- 店内の平均客数
- 対応を待っている顧客の平均数
- 平均店内滞在時間
- 修理の平均待ち時間
到着数がポアシオン分布に従う場合、到着間隔時間は負の指数分布に従う
負の指数分布 (密度関数はλ e − λ t \lambda e^{-\lambda t}λ e− λ t ) は入力プロセスのポアソン分布に相当します
M (負の指数分布、メモリなし)
λ \ラムダλ : 単位時間当たりの平均来店客数
1 λ \frac{1}{\lambda}私1: 連続客の平均到着時間
μ \μμ : 単位時間当たりの平均客数
vvv : サービス時間、つまり 2 人の顧客が次々にシステムから離れる間の間隔
ρ = λ μ \rho=\frac{\lambda}{\mu}r=メートル私：ρ \rhoρ はサービス強度を表します
1.電圧範囲を決定します
λ = 3 μ = 60 / 10 = 6 ρ = λ μ = 3 6 = 1 2 P 0 = 1 − ρ = 1 2 \lambda=3 \\ \mu=60/10=6 \\ \rho=\frac{\lambda}{\mu}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\\P_0=1-\rho=\frac{1}{2}私=3メートル=6 0 / 1 0=6r=メートル私=63=21P0=1−r=21
2. 店内に 4 人の顧客がいる確率
P 4 = ( 1 − ρ ) ρ 4 = 1 32 P_4=(1-\rho){\rho}^4=\frac{1}{32}P4=( 1−r ) r4=3 21
3. 店内に少なくとも 1 人の顧客がいる確率
P ( n ≥ 1 ) = 1 − P 0 = 1 2 P(n \ge 1)=1-P_0=\frac{1}{2}P ( n≥1 )=1−P0=21
4. 店内安客全線数
L s = ∑ n = 0 ∞ n ⋅ P n = ∑ n = 0 ∞ n ( 1 − ρ ) ρ n = ( 1 − ρ ) ρ + 2 ( 1 − ρ ) ρ 2 + 3 ( 1 − ρ ) ρ 3 + 4 ( 1 − ρ ) ρ 4 + 。。。= ( ρ − ρ 2 ) + ( 2 ρ 2 − 2 ρ 3 ) + ( 3 ρ 3 − 3 ρ 4 ) + ( 4 ρ 4 − 4 ρ 5 ) + 。。。= ρ + ρ 2 + ρ 3 + ρ 4 = ρ 1 − ρ \begin{array}{l} Ls = \sum_{n = 0}^{\infty } n \cdot P_n \\= \sum_{n = 0}^{\infty }n (1-\rho){\rho}^n \\= (1-\rho){\rho}+2(1-\rho){\rho}^2+3( 1-\rho){\rho}^3+4(1-\rho){\rho}^4+... \\=({\rho}-{\rho}^2)+(2{\ロー}^2-2{\rho}^3)+(3{\rho}^3-3{\rho}^4)+(4{\rho}^4-4{\rho}^5)+ ... \\={\rho}+{\rho}^2+{\rho}^3+{\rho}^4 \\=\frac{\rho}{1-\rho} \end{array }Ls _=∑n = 0∞n⋅Pん=∑n = 0∞n ( 1−r ) rn=( 1−r ) r+2 ( 1−r ) r2+3 ( 1−r ) r3+4 ( 1−r ) r4+。。。=( r−r2 )+( 2p _2−2P _3 )+( 3p _3−3P _4 )+( 4p _4−4p _5 )+。。。=r+r2+r3+r4=1 − pr
L s = ρ 1 − ρ = 1 2 1 − 1 2 = 1 Ls=\frac{\rho}{1-\rho}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1 {2}}=1Ls _=1−rr=1−2121=1
5. ប្រ្រ្រ្រ្រ្រ្រ្រ្រ្រ្រ្រក្
L q = ∑ n = 1 ∞ ( n − 1 ) ⋅ P n = p 2 + 2 p 3 + 3 p 4 + 4 p 5 + ⋯ = ( 1 − ρ ) ρ 2 + 2 ( 1 − ρ ) ) ρ 3 + 3 ( 1 − ρ ) ρ 4 + 4 ( 1 − ρ ) ρ 5 + ⋯ = ρ 2 − ρ 3 + 2 ρ 3 − 2 ρ 4 + 3 ρ 4 − 3 ρ 5 + 4 ρ 5 − 4 ρ 6 + ⋯ = ρ 2 + ρ 3 + ρ 4 + ρ 5 + 。。。= ρ 2 1 − ρ \begin{array}{l} Lq=\sum_{n=1}^{\infty}(n-1) \cdot P_{n} \\=p_{2}+2 p_{ 3}+3 p_{4}+4 p_{5}+\cdots \\=(1-\rho) {\rho}^{2}+2(1-\rho) \rho^{3}+3 (1-\rho) \rho^{4}+4(1-\rho) \rho^{5}+\cdots \\=\rho^{2}-\rho^{3}+2 \rho^ {3}-2 \rho^{4}+3 \rho^{4}-3 \rho^{5}+4 \rho^{5}-4 \rho^{6}+\cdots \\={ \rho}^2+{\rho}^3+{\rho}^4+{\rho}^5+... \\=\frac{\rho^2}{1-\rho} \end{配列}L q=∑n = 1∞( n−1 )⋅Pん=p2+2P _3+3P _4+4p _5+⋯=( 1−r ) r2+2 ( 1−r ) r3+3 ( 1−r ) r4+4 ( 1−r ) r5+⋯=r2−r3+2P _3−2P _4+3P _4−3P _5+4p _5−4p _6+⋯=r2+r3+r4+r5+。。。=1 − pr2
L q = ρ 2 1 − ρ = ( 1 2 ) 2 1 − 1 2 = 1 2 Lq=\frac{\rho^2}{1-\rho}=\frac{(\frac{1}{2} )^2}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}L q=1−rr2=1−21(21)2=21
6. 平均店内滞在時間
顧客が到着したときにすでに n 人の顧客がいると仮定すると、先着順に従って、システム内での顧客の滞在時間
W n = T 1 ' + T 2 + ⋯ + T n + T n + 1 W_{n} =T_{1}^{\prime}+T_{2}+\cdots+T_{n}+T_{n+1}Wん=T1「+T2+⋯+Tん+Tn + 1
T1'T_{1}^{\プライム}T1「最初の顧客にサービスを受けるのに必要なサービス時間。
Ti (i − 2 , ..., n + 1 ) T_i(i-2,...,n+1)T私は(私は−2 、。。。、n+1 )独立して同一に分布し、両方のパラメータはμ \muμ、T 1 ' T_{1}^{\prime}T1「メモリがないため、パラメータμ \muにもに従います。μの負の指数分布W n W_nWん従う( n + 1 ) (n+1)( n+1 )順序アーラン分布
f W n ( t ) = μ ( μ t ) nn ! e − μ tt ⩾ 0 f_{W_{n}(t)}=\frac{\mu(\mu t)^{ n} }{n !} e^{-\mu t} \quad t \geqslant 0fWん( t )=ん！μ ( μ t )んe−μt _ _t⩾0
F ( t ) = p ( W ⩽ t ∣ n ) = ∑ n = 0 ∞ pn ⋅ p ( W ⩽ t ∣ n ) = ∑ n = 0 ∞ ( 1 − e ) en ⋅ ∫ 0 t μ ( μ t )ん！e − μ tdt = 1 − e − ( μ − λ ) tt ≥ 0 \begin{array}{l} F(t)=p(W \leqslant t | n) & \\=\sum_{n=0} ^{\infty} p_{n} \cdot p(W \leqslant t \mid n) \\=\sum_{n=0}^{\infty}(1-e) e^{n} \cdot \int_ {0}^{t} \frac{\mu(\mu t)^{n}}{n !} e^{-\mu t} dt \\=1-e^{-(\mu-\lambda ) t} \quad t \ge 0 \end{配列}F ( t )=p ( W⩽t ∣ n )=∑n = 0∞pん⋅p ( W⩽t∣n )=∑n = 0∞( 1−と）とn⋅∫0たん！μ ( μ t )んe− μ t dt=1−e− ( μ − λ ) tt≥0
そうだねwwW はパラメータμ \muμの負の指数分布
f ( t ) = ( μ − λ ) e − ( μ − λ ) t ≥ 0 f(t)=(\mu - \lambda)e^{-(\mu - \lambda)t} \クアッド\ge 0f ( t )=( m−l ) e− ( μ − λ ) t≥0
W s = 平均滞在時間 = 1 μ − λ = 1 6 − 3 = 1 3 時間 = 20 分 \begin{array}{l} Ws= 平均滞在時間\\=\frac{1}{\mu - \lambda } \\=\frac{1}{6-3} \\=\frac{1}{3} 時間\\=20 分\end{array}Ws _=平均滞在期間=m − l1=6 − 31=31時間=20分_
7. 平均修理待ち時間
W q = W s − EV = W s − 1 μ = 1 6 − 3 − 1 6 = 1 6 時間 \begin{aligned} W_{q} &=W_{s}-EV \ \ &=W_{s}-\frac{1}{\mu} \\ &=\frac{1}{6-3}-\frac{1}{6} \\ &=\frac{1}{ 6 }時\終了{整列}Wq=Ws−EV _=Ws−メートル1=6−31−61=61時間