1.1、線形計画問題
人々の生産慣行では、最大の経済的利益を得るために、既存の資源をどのように使用して生産を手配するかという問題に直面することがよくあります。このような問題は、オペレーションズリサーチの重要な分野である数理計画法を構成し、線形計画法（線形計画法はLPと略されます）は数理計画法の重要な分野です。GBDantzigが1947年に線形計画法を解くためのシンプレックス法を提案して以来、線形計画法は理論的にはより成熟し、実際にはより広範かつ深くなっています。特に、コンピューターが何千もの制約と決定変数を使用して線形計画法を処理できるようになった後、線形計画法の適用はより広範になり、現代の管理でよく使用される基本的な方法の1つになりました。
1.1.1線形計画法の例と定義
例1.1工作機械工場はAとBの2種類の工作機械を生産しており、各機械の販売後の利益はそれぞれ4,000元と3,000元です。工作機械Aの製造は機械AとBで処理する必要があり、処理時間は各機械でそれぞれ2時間と1時間です。工作機械Bの製造は、機械A、B、Cで処理する必要があります。処理時間は各マシンで1時間です。1日あたりの
処理可能な機械時間数が機械Aで10時間、機械Bで8時間、機械Cで7時間である場合、総利益を最大化するために、工場はいくつの工作機械を生産する必要がありますか？
上記の問題の数学モデル：工場がx1マシンAとx2マシンBを生産するときに、総利益zが最大であるとすると、x1とx2は次の条件を満たす必要があります。
変数x1、x2は決定変数と呼ばれ、式（1.1）は問題の目的関数と呼ばれ、（1.2）のいくつかの不等式は、st（対象）として示される問題の制約です。
目的関数と制約は線形関数であるため、線形計画問題と呼ばれます。線形計画問題は、一連の線形制約の制限の下で最大または最小の線形目的関数を見つける問題です。実際の問題を解くとき、問題は線形計画法の数学モデルに還元されます。これは非常に重要なステップであり、多くの場合非常に難しいステップです。モデルが適切に確立されているかどうかは、ソリューションに直接影響します。適切な決定変数を選択することは、効果的なモデルを確立するための鍵の1つです。
1.1.2線形計画問題の解決策の概念
ここで、cとxはn次元の列ベクトル、AとAeqは適切な次元の行列、bとbeqは適切な次元の列ベクトルです。[注：matlabは最小用です]
制約（1.4）を満たす実行可能解は、線形計画問題の実行可能解と呼ばれる解x = [x、L、x、Iであり、目的関数（1.3）を最大化する実行可能解はと呼ばれます。最適なソリューション。実行可能
領域実行可能領域セットは、Rと呼ばれるからなるすべての問題の実行可能解と呼ばれます。
1.1.3線形計画法とソフトウェアソリューションのMatlab標準形式
ここで、cとxはn次元の列ベクトル、AとAeqは適切な次元の行列、bとbeqは適切な次元の列ベクトルです。
Matlabで線形計画法を解くためのコマンドは次のとおりです。
[x,fval] = linprog(c,A,b)
[x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq)
[x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub)[注：これらは3つの異なる記述方法です。標準形式の場合、使用しているパラメーターを記述できます。 ]
xが決定ベクトルの値を返し、fvalが目的関数の最適値を返し、cが値ベクトル、A、bが線形不等式制約に対応し、Aeq、beqが線形不等式制約に対応し、lbとubがそれぞれに対応します。決定ベクトルの下限ベクトルと上限ベクトル。
例1.2次の線形計画問題を解く
解くためのMATLABプログラムは次のとおりです。
f=[-2;-3;5];
a=[-2,5,-1;1,3,1]; b=[-10;12]; .
aeq=[1,1,1];
beq=7;
[x,yl=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1));
x, y=-y1.1.4線形計画法に変換できる問題
1.2投資のメリットとリスク
1.2.1質問
1.2.2シンボル要件と基本的な仮定
記号は、
siが株式や債券などのi番目の投資プロジェクトを表すことを示しています。i= 0、1、L、n、ここでs0は銀行の預金を
表し、ri、Pi、qiはそれぞれsiの平均利回り、取引手数料率、リスク損失率、i = 0、L、n、ここでp0 = 0、q0 = 0;
uiはsiの取引クォータを表し、i = 1、L、n;
xiは投資プロジェクトのファンドsi、i = 0、1、L、n;
aは投資リスクの程度を
表します; Qは全体的なリターンを表します;
基本的な仮定
（1）投資額Mが非常に大きい計算を容易にするために、M = 1と仮定します;
（2）投資が多様化するほど、総リスクは小さくなります;
（3）全体的なリスクは投資プロジェクトです;測定する最大のリスク;
（4）n +1種類の資産s;互いに独立している;
（5）この投資期間では、r;、P;、q;は固定値であり、予期しない影響を受けません。要因;
（6）純利益と全体的なリスクは、r;、P;、9;によってのみ影響を受け、他の要因によって影響を受けることはありません。
1.2.3モデルの分析と確立
モデル1：リスクレベルを修正し、リターンを最適化する
つまり、リスクのレベルは
モデル2：利益レベルを修正し、リスクを最小限に抑える
つまり、最小のメリットはkです。
c）投資家が資産リスクと期待収益を比較検討するとき、彼らはそれらを満足させるポートフォリオを選択することを望んでいます。したがって、重みs（0 <s≤1）と（1-s）はそれぞれリスクとリターンに割り当てられ、sは投資選好係数と呼ばれます。
1.2.4モデル1のソリューション
clc,clear
a=0;hold on
while a<0.05
c=[-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185];
A=[zeros(4,1 ),diag([0.025,0.015,0.055,0.026])];
b=a*ones(4,1);
Aeq=[1,1.01,1.02,1 .045,1.065];
beq=1; LB=zeros(5,1);，
[x,Ql=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB);
Q=-Q; plot(a,Q,'*k'); .
a=a+0.001;
end
xlabel('a'),ylabel('Q')1.2.5結果分析
ことがわかる
（1）リスクが大きく、リターンも大きい。
投資がより多様化された場合（2）、投資家が取るリスクは小さいです。リスクの高い投資家は投資を集中させ、保守的な投資家は可能な限り投資を分散させます。
（3）a = 0.006付近にターニングポイントがあります。このポイントの左側では、リスクの増加が小さいと、利益が急速に増加します。この点の右側では、リスクが大幅に増加すると利益の増加が非常に遅いため、リスクとリターンを特に優先しない投資家にとっては、曲線の転換点を最適なポートフォリオとして選択する必要があります。約a = 0.6％。Q= 20％、対応する投資計画はリスク度a = 0.006、リターンQ = 0.2019、x、= 0、x = 0.24、x、= 0.4、X3 = 0.1091、x4 = 0.2212です。
学習ソース：