数理モデリングアルゴリズムとその応用を学ぶ【グレーリレーショナル分析と予測モデル】

主な内容
1 つはグレー予測の概念、
2 はグレー生成シーケンス、
3 はグレー相関度分析、
5 はグレー予測例、4 は
グレーモデル GM、4 はグレーモデル GM

グレー予測の概念

1982 年、中国の学者鄧居龍教授が中国初の論文「グレー コントロール システム」を発表し、グレー システム学問の誕生を告げました。グレイシステム理論の適用範囲は、産業、農業、社会、経済、エネルギー、地質学、石油などの多くの科学分野に拡張されています。生産、生命、科学研究における多くの実際的な問題の解決に成功しています。そして目覚ましい成果を上げました。
グレイシステムの応用分野は大きく以下のような側面に分けられます。
(1) グレイ相関分析。
(2) グレー予測：人口予測、災害予測…など。
(3) グレーな意思決定。
(4) グレー予測制御。
グレイ システム理論は、人々が客観的なシステムを理解し、変換するための新しい理論的ツールです。

1. グレー予測の概念

グレー系、ホワイト系、ブラック系

• 白いシステムは、システムの内部特性が完全にわかっている、つまりシステムの情報が完全に十分であることを意味します。
• ブラックシステムとは、内部情報が外界には知られておらず、外界との接続を通じてのみ観察および研究できるシステムを指します。
• グレー システムの情報の一部は既知ですが、情報の別の部分は不明であり、システム内のさまざまな要素の間には不確実な関係があります。

グレー予測法

• グレイ予測法は、不確定要素を含む系を予測する手法です。
• グレイ予測とは、既知の情報と不確実な情報の両方を含む系を予測すること、つまり、時間に関連して一定の範囲内で変化するグレイプロセスを予測することです。
• グレイ予測では、システム要因の発展傾向の差異の度合いを特定する、つまり相関分析を実行し、元のデータを生成および処理してシステム変化の法則を見つけ、強い規則性を持ったデータ列を生成し、対応する微分方程式モデルを確立して、物事の将来の発展傾向を予測します。
• グレー予測手法は、予測対象の特性を反映する等間隔で観測される一連の定量値を使用してグレー予測モデルを構築し、将来の特定の瞬間の特徴量、または特定の時点に到達する時間を予測します。特徴量。

4 つの一般的なタイプのグレー予測

• グレー時系列予測とは、予測対象の特徴を反映した観測時系列を利用してグレー予測モデルを構築し、将来のある瞬間の特徴量、あるいはある特徴量に到達する時刻を予測することです。
• 歪み予測、つまり、グレー モデルを通じて外れ値が現れる瞬間を予測し、特定のタイム ゾーンで外れ値がいつ現れるかを予測します。
• システム予測 は、システム動作特性指標の相互に関連する一連のグレー予測モデルを確立することにより、システム内の多くの変数間の相互調整関係の変化を予測します。
• トポロジカル予測、元のデータの曲線を作成し、固定値に従って曲線上で固定値が発生するすべての時点を見つけ、固定値をフレームとして使用して時点系列を形成し、モデルを構築します固定値が発生する時点を予測します。

2. グレー相関と利点分析

多くの場合、システムの要因を分析する必要があります。どの要因がシステムにとって主要な要因で、どの要因が副次的で、どの要因を開発する必要があり、どの要因を抑制する必要があるか、どの要因が潜在的で、どの要因が影響しているのかを分析する必要があります。明らかです。システム分析の鍵となるのは、要因間の相関関係をどのように把握し、その相関度をどのように数値化するかです。
例えば、人口問題はシステムを構成しており、人口の発展と変化に影響を与える要因には、家族計画、社会保障、社会生活などの社会的側面、国民所得、社会福祉、社会保険などの経済的側面、社会保障などの医療的側面が含まれます。病状や医療レベルなど、つまり人口はさまざまな要因が相互に関連し、制約し合うシステムであり、これらの要因を分解することにより、人口の将来予測や人口制御が可能になります。
従来、因子分析の基本的な手法としては回帰分析などが主に用いられてきましたが、回帰分析の手法には大量のデータが必要であったり、計算量が多かったり、異常事態が発生する可能性があるなどの欠点が多くありました。上記の問題を克服するために、このセクションではグレーリレーショナル分析の方法を採用してシステム分析を行います。灰色の相関度は、分析ベクトルとベクトルの間、および行列と行列の間の相関度でなければなりません。相関度を計算するためには、比較対象となるある配列と基準対象（基準配列）との相関度を計算する必要がある。

グレー相関

事例分析

上図には誤りがあり、式1より上式が得られます。
１番目のサンプルの１番目のデータからξ１（１）が得られ、１番目のサンプルの２番目のデータからξ１（２）が得られる。

3. グレー生成シーケンス

グレイ システム理論では、客観的な外観は複雑ですが、常に全体的な機能を持っており、したがって何らかの内部法則が含まれている必要があると考えています。グレーシステムは、元のデータを整理することによって変化の法則を求めるもので、データの現実的な法則、つまりグレーシーケンスの生成を求める方法です。すべてのグレーのシーケンスは、ある種の生成を通じてランダム性を弱め、規則性を明らかにすることができます。データ生成の一般的な方法には、累積生成、累積生成、加重累積生成などがあります。

累積世代数

累積減算生成

重み付けされた近隣の生成

蓄積生成計算例

一般に、経済順序は非負の順序です。累積生成では、スイングおよび非スイングを含む非負のシーケンスを非減少および増加に変換できます。ルールを発見するために。

蓄積生成計算例

4. グレーモデル GM(1,1)

グレイ システム理論では、相関空間や滑らかな離散関数などの概念に基づいてグレイ導関数とグレイ微分方程式を定義し、離散データシーケンスを使用して微分方程式の形式で動的モデルを確立します。つまり、グレイ モデルは離散乱数を使用します。数値を弱め、より規則的に生成することで、微分方程式の形でモデルが確立され、その変化過程の研究と記述が容易になります Gは灰色(灰色)、Mは灰色を表し
ますはモデル (モデル) を表します.



B を左で割ることは B を求めることも意味します B の擬似逆関数は B が可逆である必要はありません.
以下は上記の式の証明です。

GM(1,1) グレー予測ステップ

1. データの検査と処理

数学的モデリングを実行する場合、ランク比テストは、データがグレー予測で処理できるかどうかを検出します。

2. GM (1, 1) モデルの確立

3. 予測値のテスト

グレー予測計算例

事例: SARS 流行による特定の経済指標への影響

モデルの分析と仮定

• 利用可能な過去の統計データによると、通常の状況では、年間平均は関連指標の変化パターンをよりよく反映しているため、予測評価は 2 つの部分に分割できることがわかります。
• グレイ理論を使用してグレイ微分方程式モデルを確立し、1997～2002年の平均値から2003年の平均値を予測する
• 過去のデータから月次指標値と年間合計値との関係を計算することで、平常時の 2003 年の月次指標値を予測し、実際の値と比較することで、SARS 流行の実際の影響を推定することができます。
• 次の 2 つの仮定が与えられます:
  (1) 市の統計データは信頼性があり正確であると仮定されます
  (2) 市内での SARS 流行中および流行後のデータの変化は影響にのみ関連すると仮定されます。他のランダム要因の影響に関係なく、SARS 流行の影響

グレー予測モデル GM(1,1) を確立する

モデルソリューション

コード

han1=[83.0 79.8 78.1 85.1 86.6 88.2 90.3 86.7 93.3 92.5 90.9 96.9
101.7 85.1 87.8 91.6 93.4 94.5 97.4 99.5 104.2 102.3 101.0 123.5
92.2 114.0 93.3 101.0 103.5 105.2 109.5 109.2 109.6 111.2 121.7 131.3
105.0 125.7 106.6 116.0 117.6 118.0 121.7 118.7 120.2 127.8 121.8 121.9
139.3 129.5 122.5 124.5 135.7 130.8 138.7 133.7 136.8 138.9 129.6 133.7
137.5 135.3 133.0 133.4 142.8 141.6 142.9 147.3 159.6 162.1 153.5 155.9
163.2 159.7 158.4 145.2 124.0 144.1 157.0 162.6 171.8 180.7 173.5 176.5];
han1(end,:)=[];%相当于han1=han1(1:6,:)，即把最后一行空出来;
m=size(han1,2);%把月份提取出来，12个月
x0=mean(han1,2);%返回x矩阵每行的平均值，其中的2代表返回行
x1=cumsum(x0);%一次累加
alpha=0.4;
n=length(x0);%长度，数据的维度，n=6
z1=alpha*x1(2:n)+(1-alpha)*x1(1:n-1)%q求邻域生成数
Y=x0(2:n);B=[-z1,ones(n-1,1)];
ab=B\Y%求出a,b。此处B\,为求B的伪逆
k=6;
x7hat=(x0(1)-ab(2)/ab(1))*(exp(-ab(1)*k)-exp(-ab(1)*(k-1)))%预测结果
z=m*x7hat%12乘均值得到一整年的预测结果
u=sum(han1)/sum(sum(han1))
%sum(han1)为对han1的列求和得到的是行向量，sum(行向量)直接对行向量求和。此式子结果表示预测的每个月所占一年的总量的比例
v=z*u%结果是每个月的预测值

運営実績




本市の統計報告によると、2003 年 4 月、5 月、6 月の実際の商品小売売上高は、それぞれ 145 億 2,000 万元、124 億元、144 億 1,000 万元でした。これに先立ち、統計局の推計によると、SARSの流行が市内の商品小売業に最も深刻な影響を与えたのは4月、5月、6月で、この3カ月間の損失は約62億元と推定されていた。 。私たちのモデルの予測結果から計算すると、4月、5月、6月の3ヶ月間の損失は60億3000万元で、このデータは専門家の推定値とほぼ一致しており、8月にはほぼ正常に戻り、また、 「図はモデルの正確さと信頼性を示しています。セックスは
観光業の影響を最も受けている産業の一つです。4月、5月、6月、7月の最悪の4ヶ月間には100万人以上が命を落としました。最新の統計によると」 , 一人当たりの平均消費額は1,002ドルで、約10億ドルの損失となります。年間では約160万人、これに相当する約16億ドルが失われるが、年末までにほぼ通常通りに戻る、航空など総合サービス業の一部産業はより大きな影響を
受ける「運輸、ホテルのケータリングなどだが、電気通信など一部の業界は影響が少ないだろう。待てよ、平均すると影響はそれほど大きくない。5、6、7月の4カ月で約70億元の損失」予測結果からは、8月と8月が確認できるが、下半期は流行はないものの、SARSの再来が懸念されており、これらの業界には依然として一定の影響があり、感染拡大の継続が予想される。 SARS の影響. このモデルは、特定の経済指標の発展法則を評価および予測するために確立されていますが、他の側面のいくつかのデータ法則にも適用できます. の評価予測問題、つまりモデルは広範囲を持っていますアプリケーションの。