前提知識：定積分の計算（部分法による積分）
演習 1
∫ 1 3 arctan xdx \int_1^{\sqrt 3}\arctan xdx を計算します∫13アークタンx d x
解決策:
\qquad原式= x arctan x ∣ 1 3 − ∫ 1 3 xd ( arctan x ) = arctan 3 − arctan 1 − ∫ 1 3 x 1 + x 2 dx =x\arctan x\bigg\vert_1^{\ sqrt 3}-\int_1^{\sqrt 3}xd(\arctan x)=\arctan \sqrt 3-\arctan 1-\int_1^{\sqrt 3}\dfrac{x}{1+x^2}dx=バツアークタンバツ
13−∫13x d (アークタン× ）=アークタン3−アークタン1−∫131+バツ2×dx _
π 12 − 1 2 ln ( x 2 + 1 ) ∣ 1 3 = π 12 − 1 2 ln 2 \qquad\qquad \dfrac{\pi}{12}-\dfrac 12\ln(x^2+1) )\bigg\vert_1^{\sqrt 3}=\dfrac{\pi}{12}-\dfrac 12\ln 212p−21ln ( x2+1 ) 13=12p−21ln2
演習 2
∫ 1 2 x ln xdx \int_1^2x\ln xdxを計算します。∫12バツlnx d x
解決策:
\qquad原式= 1 2 ∫ 1 2 ln xd ( x 2 ) = 1 2 x 2 ln x ∣ 1 2 − 1 2 ∫ 1 2 x 2 d ( ln x ) =\dfrac 12\int_1^2\ln xd(x^2)=\dfrac 12x^2\ln x\bigg\vert_1^2-\dfrac 12\int_1^2x^2d(\ln x)=21∫12lnx d ( x2 )=21バツ2lnバツ
12−21∫12バツ2d (ln_× ）
= 2 ln 2 − 1 2 ∫ 1 2 x 2 ⋅ 1 xdx = 2 ln 2 − 1 2 ∫ 1 2 xdx \qquad\qquad =2\ln 2-\dfrac 12\int_1^2x^2\cdot \ dfrac 1xdx=2\ln 2-\dfrac 12\int_1^2xdx=2ln2−21∫12バツ2⋅バツ1dx _=2ln2−21∫12x d x
= 2 ln 2 − 1 4 x 2 ∣ 1 2 = 2 ln 2 − 3 4 \qquad\qquad =2\ln 2-\dfrac 14x^2\bigg\vert_1^2=2\ln 2-\dfrac 34=2ln2−41バツ2 12=2ln2−43
演習 3
f '' ( x ) f ''(x)とします。f'' (x)in[ 0 , 1 ] [0,1][ 0 ,1 ]、およびf ( 0 ) = 1 、 f ( 2 ) = 3 、 f ' ( 2 ) = 5 f(0)=1、f(2)=3、f'(2)=5f ( 0 )=1 、f ( 2 )=3 、f' (2)=5，求∫ 0 1 xf '' ( 2 x ) dx \int_0^1xf''(2x)dx∫01× f'' (2x)dx
解決策:
\qquad原式= 1 2 ∫ 0 1 xd [ f ' ( 2 x ) ] = 1 2 xf ' ( 2 x ) ∣ 0 1 − 1 2 ∫ 0 1 d [ f ' ( 2 x ) ] =\dfrac 12\int_0 ^1xd[f'(2x)]=\dfrac 12xf'(2x)\bigg\vert_0^1-\dfrac 12\int_0^1d[f'(2x)]=21∫01x d [ f' (2x)]=21× f' (2x)
01−21∫01d [ f' (2x)]
= 1 2 f ′ ( 2 ) − 1 4 f ( 2 x ) ∣ 0 1 = 5 2 − 1 2 = 2 \qquad\qquad =\dfrac 12f'(2)-\dfrac 14f(2x)\bigg\vert_0 ^1=\dfrac 52-\dfrac 12=2=21f' (2)−41f ( 2 x ) 01=25−21=2
要約する
部分ごとの統合を上手にマスターしていれば、このような問題は通常は簡単に解決できます。