予備知識
導入
定積分の概念によれば、次のようになります。
∫ abf ( x ) dx = lim n → + ∞ 1 n ∑ i = 1 nf ( a + b − ani ) \int_a^bf(x)dx=\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac 1n\sum\limits_{i=1}^{n}f(a+\dfrac{ba}{n}i)∫あるbf ( x ) d x=n → + ∞リムn1i = 1∑んf ( _+nb−あ私）
次に、フォームの一部について
lim n → + ∞ 1 n ∑ i = 1 nai \lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac 1n\sum\limits_{i=1}^na_in → + ∞リムn1i = 1∑んある私は
このような式は定積分で求めることができます。
例
極限を決定する n → + ∞ ( nn 2 + 1 + nn 2 + 2 2 + ⋯ + nn 2 + n 2 ) \lim\limits_{n\to+\infty}(\dfrac{n}{n^2+1) }+\dfraction}{n^2+2^2}+\cdots+\dfraction}{n^2+n^2})n → + ∞リム(n2+1ん+n2+22ん+⋯+n2+n2ん）
解決策:
\qquad原式= lim n → + ∞ 1 n ∑ i = 1 n 1 1 + ( in ) 2 = ∫ 0 1 1 1 + x 2 dx = arctan x ∣ 0 1 = π 4 =\lim\limits_{n \to+\infty}\dfrac 1n\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{1}{1+(\frac in)^2}=\int_0^1\dfrac{1}{1+x^ 2}dx=\arctan x\bigg\vert_0^1=\dfrac{\pi}{4}=n → + ∞リムn1i = 1∑ん1+(n私は）21=∫011+バツ21dx _=アークタンバツ
01=4p