HFUT計算方法（） - 。Chp6数値積分（）

HFUT計算方法（） - 。Chp6数値積分（）

chp6.1の数値積分の基本的な概念

\ [\ int_a ^ BF（X）DX = \ sum_ {k = 0} ^ nA_kf（X）+ R [F] \タグ{1} \]

\（式1 \クワッド\）ここで\（{X_K}（k = 0、1、...、N）\）直交点、である\（{a_k（K = 0 ,. 1、...、N-）} \ ）直交係数の。\（R [F] \）直交式の剰余です。

左長方形の誤差推定
- ための\（F（X） - F（A）= F（\ xi_x）（X - A）\）、得ることができます。
- \ [\ {整列} R [F]を始める＆= \ INT_ {} ^ {B}、F（x）はD XF（）（BA）\\＆= \ INT_ {} ^ {B} F ^ { } \プライム\（\ xi_ {X} \右）（XA）DX = \ FRAC {（BA）^ {2}} {2} F ^ {\プライム}（\ XI）\クワッド\ XI \で（左、B）\端{整列} \]
右の長方形の誤差推定
- \ [開始\ {整列} R [F] - = - \ FRAC {（BA）^ {2}} {2} F ^ {\プライム}（\ XI）\クワッド\ XI \で（a、b）は\端{整列} \]
長方形誤差推定
- テイラーから得展開します。
  
  \（F（X）=左\ F（\ FRAC {+のB}、{2} \右）+ F \ FRAC {+のB}、{2} \右\（左^ {\プライム}）\左（ X- \ FRAC {+のB}、{2} \右）+ \ FRAC {F ^ {\プライム\プライム} \左（\ xi_ {X} \右）} {2} \左（X軸\ FRAC { A + B}、{2} \右）^ {2} \）
- \（\ INT_ {} ^ {B}、F（x）はD XF \左（\ FRAC {+のB}、{2} \右）（BA）= - \ FRAC {F ^ {\ \プライムプライム}（ \ ETA）} {24}（BA）^ {3}、\（a、b）はクワッド\ ETA \ \）

代数精度chp6.2直交式

**もし直交式$$ \ {始める整列}の定義
＆\ INT_ {A}、{B} ^ F（X）DX \約\ sum_ K = {0}} ^ {N-A_ {F} K \ （X_ {K} \左右）\端{整列} $$ $$ \ {整列}始める＆Fの（X）= X ^ {I}（j = 0,1,2、\ cdots、M）\端$$正確に確立されている{アライメントさ}が、$$ \ {整列}始める＆F （X）= X ^ {M + 1} \端{整列} $$ 即ち、不正確な確立。

\ [\ {整列}始める＆\ INT_ {} ^ {B}、X ^ {J} DX = \ sum_ {k = 0} ^ {n}はA_ {K} X_ {K} ^ {J}、\クワッドJ = 0,1,2、\ ldots、M \端{整列} \]

この式は、呼び出した\（M \）回代数精度。

chp6.3補間型のデジタル直交式

ラグランジュ補間建設

ラグランジュ補間多項式の積分機能構成を得ることができます。

\ [\左（X_ {K} \右）L_ {K}（X）F \ {整列}始める＆L_ {N}（X）= \ sum_ {k = 0} ^ {N} \\\端{整列} \クワッド$$因此、$$ \整列{開始}＆\ INT_ {} ^ {B} F（X）DX \約\ INT_ {} ^ {B} L_ {N}（X）DX \\ ＆= \ INT_ {} ^ {B} \左[\ sum_ {k = 0} ^ {n}はF \左（X_ {K} \右）L_ {K}（X）\右] DX = \ sum_ {K = 0} ^ {N} \左[\ INT_ {} ^ {B} L_ {K}（X）DX \右] \左（X_ {K} \右）\ F端{整列} \]

場合称する$$ A_ {K} = \ INT_ {} ^ {B} L_ {K}（X）DX \タグ{2} $$

则有$$ \開始{整列}＆\ INT_ {} ^ {B} F（X）DX \約\ sum_ {k = 0} ^ {n}はA_ {K} F \左（X_ {K} \右）
\端{整列} \タグ{3} $$

エラー解析

直交係数\（（2）\）式直交式を決定\（（3）\）

以下のために（F（X）\）\、補間残りがある（F（X）-L_ {\ n}は（X）= \ FRAC {F ^ {（N + 1）} \左（\ xi_ {X } \右）} {（N + 1）！} \ omega_ {N + 1}（X）\ xi_ {X} \で（B）\クワッド\）利用可能

\（R [F] \）覚えします

\ [\開始{整列} R [F]＆= \ INT_ {} ^ {B} \左の[F（X）-L_ {N}（X）\右] DX \\＆= \ FRAC {1} {（N + 1）！} \ INT_ {} ^ {B} F ^ {（N + 1）} \左（\ xi_ {X} \右）\ omega_ {N + 1}（X）DX。\クワッド\ xi_に{X} \（B）\端{整列} \]

右のコンストラクタ

間隔の\（[B] \ ）であるに関数を重み付け（\のRho \）\積分\（I = \ int_a ^ B \のRho（X）F（X）DX \）、\（\のRho （X）\）の\（[B] \ ）に重み関数。

補間直交式\（（2）\）での発現\（A_k（X）\）を与えるために、変化の計算方法：

\ [A_k = \ int_a ^ B \ロー（X）L_K（X）DX \タグ{4} \]

エラー解析

\ [R [F] = \ FRAC {1} {（N + 1）！} \ int_a ^ B \ロー（X）F ^ {N + 1}（\ xi_x）\ omega_（N + 1）DX \]

ニュートン・コーツの公式

\ [A_ {K} = \ INT_ {} ^ {B} L_ {K}（X）DX = \ INT_ {} ^ {B} \ prod_ ^ {n}は{I 0 =} \ FRAC {X- X_ {I}} {X_ {K} -x_ {I}} DX \ stackrel {X_ {I} = A +番目} {=} \ FRAC {（ - 1）^ {NK} H} {K（NK！）！} \ INT_ {0} ^ {N} \ {5} \]タグ\ DT I \ NEQのK} ^ {N}（TI）の上prod_ {iが0 = \

令$$ C_ {K} ^ {（N）} = \ FRAC {1} {BA} A_ {K} = \ FRAC {（ - 1）^ {NK}} {NK（NK）！} \ INT_ { 0} ^ {N} \ prod_ {iが0 = \ I \ NEQ K} ^ {N}（TI）の上にDTで、k = 0,1、\ ldots、N $$

则有$$ \クワッド\ INT_ {} ^ {B} F（X）DX \約（BA）\ sum_ {k = 0} ^ {N} C_ {K} ^ {（N）}（左\ F X_ {K} \右）\タグ{6} $$

ニュートン・コーツの公式、\（C_k ^ {（N） } \）のコーツ係数