回転行列

点、ベクトル、座標系

ポイント: 空間の基本要素であり、長さも体積もありません。
ベクトル: 2 つの点が接続されてベクトルを形成します。
座標系: 3 つの直交する座標軸で構成されます。
任意のベクトルは、基底座標と基底座標のセット (行列理論の内容) で表すことができます。
内積: 2 つのベクトル a、b => $a\cdot b=a^{T}b=\left | \右 |\左 | b \right |\cos < a,b>$ 2 つのベクトル間の射影関係を反映します。

外積: $a\times b=\begin{bmatrix} 0 & -a_{3} & a_{2} \\ a_{3}&0 & -a_{1}\\ -a_{2}& a_{1} & 0 \ end{bmatrix}=a^{\Lambda }b$ 2 つのベクトルによって広がる四角形の有向面積を表します。

注: ^ は反対称記号 => axb は行列とベクトル間の演算 => 線形演算

反対対称: $A^{T}=-A$

座標系間のユークリッド変換

世界座標系: $\large x_{w}$ 、 $\large y_{w}$ 、 $\large z_{w}$

カメラ座標系: $\large x_{c}$ 、 $\large y_{c}$ 、 $\large z_{c}$

カメラ座標系 ⇒ 世界座標系（ユークリッド変換１回分の差）（ユークリッド変換は回転と平行移動からなる）

回転行列を導出する：

2 つの座標系でのベクトルの座標は次のとおりです $\large a=\begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3} \end{bmatrix}$ 。2 $a^{'}=\begin{bmatrix} a^{'}_{1}\\ a^{'}_{2}\\ a^{'}_{3} \end{bmatrix}$ つの座標系は次のとおりです $e=\begin{bmatrix} e_{1}\\ e_{2}\\ e_{3} \end{bmatrix}$ 。 $e^{'}=\begin{bmatrix} e^{'}_{1}\\ e^{'}_{2}\\ e^{'}_{3} \end{bmatrix}$

=>>>>> $\begin{bmatrix} e_{1} & e_{2} & e_{3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} e^{'}_{1} & e^{'}_{2} & e^{'}_{3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a^{'} _{1}\\ a^{'}_{2}\\ a^{'}_{3} \end{bmatrix}$ =>>>>> $\begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ a_{3} \end{bmatrix}=Ra^{'}$

これは次のことから推定できます: R (回転行列) = 2 セットの基底 (座標系) の内積。

回転行列 R: 行列式が 1 の直交行列

$So(n)=\left \{ R\in R^{n\times n}|RR^{T}=I,det(R)=1 \right \}$ n 次元の特殊直交群。

SO(3) は 3 次元空間での回転です。

これから、ワールド座標系とカメラ座標系の間の変換は次のように取得できます。 $a^{'}=Ra+t$

上式の非線形変換のため、同次座標と変換行列 Tが導入されます。

$\begin{bmatrix} a^{'}\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} R & t\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a\\ 1 \end{bmatrix }=T\begin{bmatrix} a\\ 1 \end{bmatrix}$ 非線形変換を線形変換に変換します。

特別なヨーロッパのグループ: $SE(3)=\left \{T=\begin{bmatrix} R & t\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\in R^{4\times 4}|R\in SO(3),t\ R^{3} \right \} 内$

以下の回転ベクトル、クォータニオン、オイラー角は当面使用せず、補完しません。

Visual SLAM 講義 14 ノート II (講義 3)

回転行列

点、ベクトル、座標系

座標系間のユークリッド変換

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