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4 リー群とリー代数
現在の観測データにどのようなカメラの姿勢が最適であるかという問題を解決するには、最適な R と t を求める最適化問題を構築します。誤差を最小限に抑えるため。ただし、回転行列自体に制約がある (直交で行列式が 1) ため、追加の制約が導入され、最適化が困難になります。リー群とリー代数の関係を通じて、姿勢推定の問題を制約のない最適化問題に変換できることが期待されています。
4.1 リー群とリー代数の基礎
4.1.1 グループ
群 (群) は、集合と演算の代数構造です。セットを A、演算を⋅ \cdotとして表します。⋅の場合、グループは G = ( A , ⋅ ) として記録できます。グループでは、この操作が次の条件を満たす必要があります。
- 閉鎖
- 結合法則
- 単一の
- 逆
リー群は連続的な (滑らかな) 性質を持つ群です。SO(3) と SE(3) は両方ともリー群です。
4.1.2 リー代数の導出
4.1.3 リー代数の定義
すべてのリー群には、リー群の局所的性質を記述する対応するリー代数があります。
リー代数は、集合 V、数値フィールド F、および二項演算 [ , ] (リー括弧とも呼ばれます) で構成されます。それらが次の性質を満たす場合、 ( V , F , [ , ] ) はリー代数と呼ばれ、 g で表されます。
- 閉鎖
- 双線形
- 反射性（自己対自己動作はゼロ）
- ヤコビアンの等価性
4.2 指数マッピングと対数マッピング
4.3 リー代数導出と外乱モデル
リー代数を導入する主な動機は、最適化を促進することです。
5 カメラと画像
5.1 カメラのモデル
5.1.1 ピンホールカメラモデル
内部基準と外部基準がどのようにして得られるのかが推測されます。
5.1.2 歪み
歪みには、ラジアル歪みとタンジェンシャル歪みの 2 種類があります。
放射状歪み: レンズの形状によって引き起こされ、主に樽型歪みと糸巻き型歪みが含まれます。座標点が長さ方向に沿って変化している、つまり原点からの長さが変化していることがわかります。
接線方向の歪み: レンズが結像面と厳密に平行ではないことが原因で発生します。接線方向に沿って座標点が変化、つまり水平角が変化していることがわかる。
5.1.3 双眼カメラ
ベースライン: 両方のカメラの開口中心は x 軸上にあり、それらの距離は双眼カメラのベースラインと呼ばれます。
視差: 左画像と右画像の横座標の差。視差が大きいほど、距離が近くなります。
5.1.4 RGB-D カメラ
原理により、赤外線構造光タイプと飛行時間型（ToF）に分けられます。