宿題
1. 乗法群に関して SO(3)、SE(3)、および Sim(3) を検証します。
まず、上記 3 つについて、行列の乗算は結合法則を満たす必要がある、つまり最初の 2 つの行列の乗算を計算するか、最後の 2 つの行列の乗算を計算するかはまったく同じであることがわかります。
SO ( 3 ) = { R ∈ R 3 × 3 ∣ RRT = I , det ( R ) = 1 } SO(3) = \{ {R\in\mathbb{R}^{3×3}|RR ^ T = I、\det(R) = 1\}}そ( 3 )={ R∈R3 × 3 ∣RRT=私は、それ( R )=1 }
結論: 2 つの回転行列の乗算は、新しい回転行列と等しくなります (代数的角度は検証可能です、R 1 ∗ R 2 R_1*R_2)R1∗R2は依然として直交行列であり、その行列式は 1)
ユニタリです: I ⋅ R = R ⋅ I = RI・R = R・I = R私は⋅R=R⋅ _私=R
逆：det ( R ) = 1 ⇒ R \det(R) = 1 \Rightarrow Rそれ( R )=1⇒Rは可逆ですが、R − 1 = RTR^{-1} = R^TR− 1=RT
SE ( 3 ) = { T = [ R t 0 T 1 ] ∈ R 4 × 4 ∣ R ∈ SO ( 3 ) , t ∈ R 3 } SE(3) = \{T=\begin{bmatrix}R&t\\ \\0^T&1\end{bmatrix}∈\mathbb{R}^{4 × 4}|R ∈ SO(3),t ∈ \mathbb{R}^3\}SE ( 3 )={ T=⎣ ⎡R0Tt1⎦ ⎤∈R4 × 4∣R __∈そ( 3 ) 、t∈R3 }
結論: 2 つのユークリッド変換の乗算は、新しいユークリッド変換に等しい (代数検証も利用可能、T 1 ∗ T 2 T_1*T_2)T1∗T2それでも上記の形式を満たします)
ユニタリ: I ⋅ T = T ⋅ I = TI・T = T・I = T私は⋅T=た⋅私=Tは、回転なしと
逆平行移動を意味します:T = [ R t 0 T 1 ] T=\begin{bmatrix}R&t\\\\0^T&1\end{bmatrix}T=⎣
⎡R0Tt1⎦
⎤ブロック行列反転公式によると、[ AC 0 B ] − 1 = [ A − 1 − A − 1 CB − 1 0 B − 1 ] \begin{bmatrix}A&C\\\\0&B\end{bmatrix}^{- 1} = \begin{bmatrix}A^{-1}&-A^{-1}CB^{-1}\\\\0&B^{-1}\end{bmatrix}⎣
⎡あ0CB⎦
⎤− 1=⎣
⎡あ− 10−A _− 1 CB− 1B− 1⎦
⎤
T − 1 = [ R − 1 − R − 1 t 0 T 1 ] ∈ SE ( 3 ) \;\;\;\;\;\;T ^{-1} = \begin{bmatrix}R^{- 1}&-R^{-1}t\\\\0^T&1\end{bmatrix}\in SE(3)T− 1=⎣
⎡R− 10T− R− 1t _1⎦
⎤∈SE ( 3 )
S im ( 3 ) = { S = [ s R t 0 T 1 ] ∈ R 4 × 4 } Sim(3) = \begin{Bmatrix} S = \begin{bmatrix}sR&t\\\\0^T &1\ end{bmatrix}\in \mathbb{R}^{4 × 4}\end{Bmatrix}シム( 3 ) _=⎩ ⎨ ⎧S=⎣ ⎡R _0Tt1⎦ ⎤∈R4 × 4⎭ ⎬ ⎫
結論: 2 つの類似した変換の乗算は、新しい類似した変換に等しい (代数検証も可能、S 1 ∗ S 2 S_1*S_2)S1∗S2それでも上記の形式を満たします)
ユニタリ: 恒等行列、回転、平行移動、スケーリングがないことを意味します
逆: a ' = s R a + ta^{'} = sRa + tある』=sRa _ _+t逆变换はa = ( RT a ' − RT t ) / sa = (R^Ta^{'} - R^{T}t)/sある=( Rタ_』−Rtt )/p_
2. ( R 3 , R , × ) (\mathbb{R}^3,\mathbb{R},×) を検証します。( R3、R 、× )リー代数を形成する
クロージャ: リー括弧演算を通じてセット内の任意の 2 つの要素によって取得された結果は依然としてセットに属しており、3 次元ベクトルと 3 次元ベクトルを相互乗算すると、結果は依然として 3 次元ベクトルになります。乗算分配法則 反射率: R ×
R
= ∣ R ∣ ∣ R ∣ sin θ = 0 ( θ = 0 ° ) R × R = \vert R \vert\vert R \vert \sin{\theta} = 0(\シータ = 0^{°})R×R=∣ R ∣∣ R ∣罪私=0 (私=0° )
ヤコビアンの等価性: ベクトルのラグランジュ公式を使用できます。
a × ( b × c ) = b ( a ⋅ c ) − c ( a ⋅ b ) a × (b × c) = b(a・c) - c(a・b)ある×( b×c )=b ( a ⋅c )−c ( a ⋅b )
代入下式：
a × ( b × c ) + c × ( a × b ) + b × ( c × a ) a × (b × c) + c × (a × b) + b × (c × a)ある×( b×c )+c×( _×b )+b×( c×a )
利用可能な結果は 0 です
3.そうであることを検証します ( 3 ) \mathfrak{so}(3)so ( 3 )とse ( 3 ) \mathfrak{se}(3)リー代数の要件を満たすse ( 3 )の性質
リー代数so ( 3 ) \mathfrak{so}(3)so ( 3 )の集合は3 次元ベクトルϕ \phiϕ。対応する非対称行列Φ \PhiΦ、2 つのベクトルϕ 1 、ϕ 2 \phi_1,\phi_2ϕ1、ϕ2的李括号的[ ϕ 1 , ϕ 2 ] = ( Φ 1 Φ 2 − Φ 2 Φ 1 ) ∨ \begin{bmatrix}\phi_1,\phi_2\end{bmatrix} = (\Phi_1\Phi_2 - \Phi_2\Phi_1 )^{\lor}[ϕ1、ϕ2】=( F1ファイ2−ファイ2ファイ1)∨
クロージャー: Φ 1 Φ 2 − Φ 2 Φ 1 = − ( Φ 1 Φ 2 − Φ 2 Φ 1 ) T \Phi_1\Phi_2 - \Phi_2\Phi_1 = -(\Phi_1\Phi_2 - \Phi_2\Phi_1)^Tファイ1ファイ2−ファイ2ファイ1=− ( F1ファイ2−ファイ2ファイ1)Tはまだ反対称行列であり、ϕ \phiϕ
双線形：[ a ϕ 1 + b ϕ 2 , ϕ 3 ] = a [ ϕ 1 , ϕ 3 ] + b [ ϕ 2 , ϕ 3 ] [a\phi_1 + b\phi_2 ,\phi_3] = a[\ phi_1 ,\phi_3] + b[\phi_2,\phi_3][とϕ1+b ϕ2、ϕ3】=a [ ϕ1、ϕ3】+b [ ϕ2、ϕ3]
即证
[ ( a Φ 1 + b Φ 2 ) ⋅ Φ 3 − Φ 3 ⋅ ( a Φ 1 + b Φ 2 ) ] ∨ = a ( Φ 1 Φ 3 − Φ 3 Φ 1 ) ∨ + b ( Φ 2 Φ 3 − Φ 3 Φ 2 ) ∨ = ( a Φ 1 Φ 3 − a Φ 3 Φ 1 + b Φ 2 Φ 3 − b Φ 3 Φ 2 ) ∨ \begin{aligned}[(a\Phi_1 + b\Phi_2 )·\Phi_3 - \Phi_3·(a\Phi_1 + b\Phi_2)]^{\lor} &= a(\Phi_1\Phi_3 - \Phi_3\Phi_1)^{\lor} + b(\Phi_2\Phi_3 - \Phi_3\Phi_2)^{\lor} \\&= (a\Phi_1\Phi_3 - a\Phi_3\Phi_1 + b\Phi_2\Phi_3 - b\Phi_3\Phi_2)^{\lor}\end{aligned}[(とΦ1+bΦ _2) ⋅ファイ3−ファイ3⋅(とΦ1+bΦ _2) ]∨=( F _1ファイ3−ファイ3ファイ1)∨+b ( F2ファイ3−ファイ3ファイ2)∨=(とΦ1ファイ3−とΦ3ファイ1+bΦ _2ファイ3−bΦ _3ファイ2)∨
自己反性：[ ϕ 1 , ϕ 1 ] = ( Φ 1 Φ 1 − Φ 1 Φ 1 ) ∨ = 0 [\phi_1,\phi_1] = (\Phi_1\Phi_1 - \Phi_1\Phi_1)^{\lor} = 0[ p1、ϕ1】=( F1ファイ1−ファイ1ファイ1)∨=0
雅可比等了：[ ϕ 1 , [ ϕ 2 , ϕ 3 ] ] + [ ϕ 3 , [ ϕ 1 , ϕ 2 ] ] + [ ϕ 2 , [ ϕ 3 , ϕ 1 ] ] = 0 [\phi_1,[ \phi_2,\phi_3]] + [\phi_3,[\phi_1,\phi_2]] + [\phi_2,[\phi_3,\phi_1]] = 0[ p1、[ p2、ϕ3]]+[ p3、[ p1、ϕ2]]+[ p2、[ p3、ϕ1]]=0
[ Φ 1 , ( Φ 2 Φ 3 − Φ 3 Φ 2 ) ∨ ] = [ Φ 1 ( Φ 2 Φ 3 − Φ 3 Φ 2 ) − ( Φ 2 Φ 3 − Φ 3 Φ 2 ) Φ 1 ] ∨ = ( Φ 1 Φ 2 Φ 3 − Φ 1 Φ 3 Φ 2 − Φ 2 Φ 3 Φ 1 + Φ 3 Φ 2 Φ 1 ) ∨ = A ∨ \begin{aligned}[\Phi_1,(\Phi_2\Phi_3 - \Phi_3\ Phi_2)^{\lor}] &=[\Phi_1(\Phi_2\Phi_3 - \Phi_3\Phi_2) - (\Phi_2\Phi_3 - \Phi_3\Phi_2)\Phi_1]^{\lor}\\\\ &= (\Phi_1\Phi_2\Phi_3 - \Phi_1\Phi_3\Phi_2 - \Phi_2\Phi_3\Phi_1 + \Phi_3\Phi_2\Phi_1)^{\lor} = A^{\lor} \end{aligned}[ F1、( F2ファイ3−ファイ3ファイ2)∨ ]=[ F1( F2ファイ3−ファイ3ファイ2)−( F2ファイ3−ファイ3ファイ2) F1】∨=( F1ファイ2ファイ3−ファイ1ファイ3ファイ2−ファイ2ファイ3ファイ1+ファイ3ファイ2ファイ1)∨=あ∨
[ Φ 3 , [ Φ 1 , Φ 2 ] ] = ( Φ 3 Φ 1 Φ 2 − Φ 3 Φ 2 Φ 1 − Φ 1 Φ 2 Φ 3 + Φ 2 Φ 1 Φ 3 ) ∨ = B ∨ [\Phi_3, [\Phi_1,\Phi_2]] = (\Phi_3\Phi_1\Phi_2 - \Phi_3\Phi_2\Phi_1 - \Phi_1\Phi_2\Phi_3 + \Phi_2\Phi_1\Phi_3)^{\lor} = B^{\lor}[ F3、[ F1、ファイ2]]=( F3ファイ1ファイ2−ファイ3ファイ2ファイ1−ファイ1ファイ2ファイ3+ファイ2ファイ1ファイ3)∨=B∨
[ Φ 2 , [ Φ 3 , Φ 1 ] ] = ( Φ 2 Φ 3 Φ 1 − Φ 2 Φ 1 Φ 3 − Φ 3 Φ 1 Φ 2 + Φ 1 Φ 3 Φ 2 ) ∨ = C ∨ [\Phi_2, [\Phi_3,\Phi_1]] = (\Phi_2\Phi_3\Phi_1 - \Phi_2\Phi_1\Phi_3 - \Phi_3\Phi_1\Phi_2 + \Phi_1\Phi_3\Phi_2)^{\lor} = C^{\lor}[ F2、[ F3、ファイ1]]=( F2ファイ3ファイ1−ファイ2ファイ1ファイ3−ファイ3ファイ1ファイ2+ファイ1ファイ3ファイ2)∨=C∨
( A ∨ + B ∨ + C ∨ ) = ( A + B + C ) ∨ = 0 (A^{\lor} + B^{\lor} + C^{\lor}) = (A + B + C )^{\lor} = 0( A∨+B∨+C∨ )=( A+B+C )∨=0
se ( 3 ) = { ξ = [ ρ ϕ ] ∈ R 6 , ρ ∈ R 3 , ϕ ∈ so ( 3 ), ξ ∧ = [ ϕ ∧ ρ 0 T 0 ] ∈ R 4 × 4 }。\mathfrak{se}(3) = \left\{ \xi = \begin{bmatrix} \rho\\\\\phi\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^6,\rho\in\mathbb {R}^3,\phi\in\mathfrak{so}(3),\xi^{\land} = \begin{bmatrix}\phi^{\land}&\rho\\\\0^T&0\ {bmatrix}\in\mathbb{R}^{4×4}\right\} を終了します。( 3 )付き=⎩
⎨
⎧バツ=⎣
⎡rϕ⎦
⎤∈R6、r∈R3、ϕ∈したがって( 3 ) 、バツ∧=⎣
⎡ϕ∧0Tr0⎦
⎤∈R4 × 4⎭
⎬
⎫。
[ ξ 1 , ξ 2 ] = ( ξ 1 ∧ ξ 2 ∧ − ξ 2 ∧ ξ 1 ∧ ) ∨ [\xi_1,\xi_2] = (\xi_1^{\land}\xi_2^{\land} - \xi_2 ^{\land}\xi^{\land}_1)^{\lor}[ ×1、バツ2】=( ×1∧バツ2∧−バツ2∧バツ1∧)∨
全部性：即证( ( ξ 1 ∧ ξ 2 ∧ − ξ 2 ∧ ξ 1 ∧ ) ∨ ) ∧ ((\xi_1^{\land}\xi_2^{\land} - \xi_2^{\land}\ xi^{\land}_1)^{\lor})^\land(( x1∧バツ2∧−バツ2∧バツ1∧)∨ )∧はまだ[ ϕ ∧ ρ 0 T 0 ] \begin{bmatrix}\phi^{\land}&\rho\\\\0^T&0\end{bmatrix} を満たします⎣
⎡ϕ∧0Tr0⎦
⎤[Φ 1 ρ 1 0 T 0 ] [ Φ 2 ρ 2 0 T 0 ] − [ Φ 2 ρ 2 0 T 0 ] [ Φ 1 ρ 1 0 T 0 ] = [ Φ 1 Φ 2 − Φ 2 Φ
1 Φ 1 ρ 2 − Φ 2 ρ 1 0 T 0 ] = [ [ ϕ 1 , ϕ 2 ] ρ 3 0 T 0 ] \begin{aligned}\begin{bmatrix}\Phi_1&\rho_1\\\\0^T&0 \ end{bmatrix}\begin{bmatrix}\Phi_2&\rho_2\\\\0^T&0\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}\Phi_2&\rho_2\\\\0^T&0\end{bmatrix}\begin { bmatrix}\Phi_1&\rho_1\\\\0^T&0\end{bmatrix} &=\begin{bmatrix}\Phi_1\Phi_2 - \Phi_2\Phi_1&\Phi_1\rho_2 - \Phi_2\rho_1\\\\0^ T&0 \end{bmatrix} \\\\&=\begin{bmatrix}[\phi_1,\phi_2]&\rho_3\\\\0^T&0\end{bmatrix} \end{aligned}⎣
⎡ファイ10Tr10⎦
⎤⎣
⎡ファイ20Tr20⎦
⎤−⎣
⎡ファイ20Tr20⎦
⎤⎣
⎡ファイ10Tr10⎦
⎤=⎣
⎡ファイ1ファイ2−ファイ2ファイ10Tファイ1r2−ファイ2r10⎦
⎤=⎣
⎡[ p1、ϕ2】0Tr30⎦
⎤
即ち[ ξ 1 , ξ 2 ] = [ Φ 1 ρ 2 − Φ 2 ρ 1 , [ ϕ 1 , ϕ 2 ] ] [\xi_1,\xi_2] = \begin{bmatrix}\Phi_1\rho_2-\Phi_2\rho_1 \\ ,\\ [\phi_1,\phi_2]\end{bmatrix}[ ×1、バツ2】=⎣
⎡ファイ1r2−ファイ2r1、[ p1、ϕ2]⎦
⎤
双線形: [ a ξ 1 + b ξ 2 , ξ 3 ] = a [ ξ 1 , ξ 3 ] + b [ ξ 2 , ξ 3 ] [a\xi_1 + b\xi_2,\xi_3] = a[\ xi_1 ,\xi_3] + b[\xi_2,\xi_3][ ξ _1+bξ _2、バツ3】=[ × _1、バツ3】+b [ ×2、バツ3】
[ a Φ 1 + b Φ 2 a ρ 1 + b ρ 2 0 T 0 ] [ Φ 3 ρ 3 0 T 0 ] − [ Φ 3 ρ 3 0 T 0 ] [ a Φ 1 + b Φ 2 a ρ 1 + b ρ 2 0 T 0 ] = a [ Φ 1 ρ 1 0 T 0 ] [ Φ 3 ρ 3 0 T 0 ] − a [ Φ 3 ρ 3 0 T 0 ] [ Φ 1 ρ 1 0 T 0 ] + b [ Φ 2 ρ 2 0 T 0 ] [ Φ 3 ρ 3 0 T 0 ] − b [ Φ 3 ρ 3 0 T 0 ] [ Φ 2 ρ 2 0 T 0 ] = a [ ξ 1 , ξ 3 ] + b [ ξ 2 , ξ 3 ] \begin{aligned}&\begin{bmatrix}a\Phi_1 + b\Phi_2&a\rho_1 + b\rho_2\\\\0^T&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\Phi_3&\rho_3 \\\\0^T&0\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}\Phi_3&\rho_3\\\\0^T&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\Phi_1 + b\Phi_2&a\rho_1 + b \rho_2\\\\0^T&0\end{bmatrix} \\\\&=a\begin{bmatrix}\Phi_1&\rho_1\\\\0^T&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\Phi_3&\ rho_3\\\\0^T&0\end{bmatrix} - a\begin{bmatrix}\Phi_3&\rho_3\\\\0^T&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\Phi_1&\rho_1\\\\0 ^T&0\end{bmatrix} + b\begin{bmatrix}\Phi_2&\rho_2\\\\0^T&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\Phi_3&\rho_3\\\\0^T&0\end{bmatrix} - b\begin{bmatrix}\Phi_3&\rho_3\\\\0^T&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\Phi_2&\rho_2\\\\0^T&0\end{bmatrix} \\\\&= a[\xi_1,\xi_3] + b[\xi_2,\xi_3] \end{整列}⎣ ⎡とΦ1+bΦ _20Tうp1+bρ _20⎦ ⎤⎣ ⎡ファイ30Tr30⎦ ⎤−⎣ ⎡ファイ30Tr30⎦ ⎤⎣ ⎡とΦ1+bΦ _20Tうp1+bρ _20⎦ ⎤=ある⎣ ⎡ファイ10Tr10⎦ ⎤⎣ ⎡ファイ30Tr30⎦ ⎤−ある⎣ ⎡ファイ30Tr30⎦ ⎤⎣ ⎡ファイ10Tr10⎦ ⎤+b⎣ ⎡ファイ20Tr20⎦ ⎤⎣ ⎡ファイ30Tr30⎦ ⎤−b⎣ ⎡ファイ30Tr30⎦ ⎤⎣ ⎡ファイ20Tr20⎦ ⎤=[ × _1、バツ3】+b [ ×2、バツ3]
自己反性：[ ξ 1 , ξ 1 ] = ( ξ 1 ∧ ξ 1 ∧ − ξ 1 ∧ ξ 1 ∧ ) ∨ = 0 ∨ [\xi_1,\xi_1] = (\xi_1^{\land}\xi_1^ {\land} - \xi_1^{\land}\xi^{\land}_1)^{\lor} = 0^{\lor}[ ×1、バツ1】=( ×1∧バツ1∧−バツ1∧バツ1∧)∨=0∨
雅可比等了：
[ ξ 1 , [ ξ 2 , ξ 3 ] ] = [ ξ 1 , [ Φ 2 ρ 3 − Φ 3 ρ 2 ( Φ 2 , Φ 3 ) ] ] = [ Φ 1 ( Φ 2 ρ 3 ) − Φ 3 ρ 2 ) − [ Φ 2 , Φ 3 ] ρ 1 [ Φ 1 , [ Φ 2 , Φ 3 ] ] ] = [ Φ 1 Φ 2 ρ 3 − Φ 1 Φ 3 ρ 2 − Φ 2 Φ 3 ρ 1 + Φ 3 Φ 2 ρ 1 [ ϕ 1 , [ ϕ 2 , ϕ 3 ] ] ] \begin{aligned}[\xi_1,[\xi_2,\xi_3]] &= \begin{bmatrix}\xi_1,\begin {bmatrix}\Phi_2\rho_3-\Phi_3\rho_2\\\\(\phi_2,\phi_3)\end{bmatrix}\end{bmatrix} \\\\&=\begin{bmatrix}\Phi_1(\Phi_2\ rho_3 - \Phi_3\rho_2)-[\phi_2,\phi_3]\rho_1\\\\ [\phi_1,[\phi_2,\phi_3]]\end{bmatrix} \\\\&=\begin{bmatrix}\ Phi_1\Phi_2\rho_3 - \Phi_1\Phi_3\rho_2 - \Phi_2\Phi_3\rho_1 + \Phi_3\Phi_2\rho_1\\\\ [\phi_1,[\phi_2,\phi_3]]\end{bmatrix} \end{整列しました}[ ×1、[ ×2、バツ3]]=⎣
⎡バツ1、⎣
⎡ファイ2r3−ファイ3r2( ϕ2、ϕ3)⎦
⎤⎦
⎤=⎣
⎡ファイ1( F2r3−ファイ3r2)−[ p2、ϕ3］p1[ p1、[ p2、ϕ3] ]⎦
⎤=⎣
⎡ファイ1ファイ2r3−ファイ1ファイ3r2−ファイ2ファイ3r1+ファイ3ファイ2r1[ p1、[ p2、ϕ3] ]⎦
⎤
したがって、最後の 3 つの項目の加算は互いに打ち消し合うことができます (上部の代数和は 0 で、後半はso ( 3 ) \mathfrak{so}(3)したがって( 3 )ヤコビアンの等価性は 0 として知られます)
4. 検証プロパティ (4.20) および (4.21)
(4.20)
a ∧ a ∧ = [ 0 − a 3 a 2 a 3 0 − a 1 − a 2 a 1 0 ] [ 0 − a 3 a 2 a 3 0 − a 1 − a 2 a 1 0 ] = [ − a 2 2 − a 3 2 a 1 a 2 a 1 a 3 a 1 a 2 − a 1 2 − a 3 2 a 2 a 3 a 1 a 3 a 2 a 3 − a 1 2 − a 2 2 ] = [ a 1 2 a 1 a 2 a 1 a 3 a 1 a 2 a 2 2 a 2 a 3 a 1 a 3 a 2 a 3 a 3 2 ] − [ a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 0 0 0 a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 0 0 0 a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 ] = aa T − I \begin{aligned}a^\land a^\land &= \begin{bmatrix}0& -a_3&a_2\\\\a_3&0&-a_1\\\\-a_2&a_1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-a_3&a_2\\\\a_3&0&-a_1\\\\-a_2&a_1&0\end{bmatrix} \\\\ &= \begin{bmatrix}-a_2^2-a_3^2&a_1a_2&a_1a_3\\\\a_1a_2&-a_1^2-a_3^2&a_2a_3\\\\a_1a_3&a_2a_3&-a_1^2-a_2^2\end{bmatrix} \\\\ &= \begin{bmatrix}a_1^2&a_1a_2&a_1a_3\\\\a_1a_2&a_2^2&a_2a_3\\\\a_1a_3&a_2a_3&a_3^2\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}a_1^2 + a_2^2 + a_3^2&0&0\\\\0&a_1^2 + a_2^2 + a_3^2&0\\\\0&0&a_1^2 + a_2^ 2 + a_3^2\end{bmatrix} \\\\&= aa^T - I \end{aligned}ある∧ _∧=⎣
⎡0ある3− _2− _30ある1ある2− _10⎦
⎤⎣
⎡0ある3− _2− _30ある1ある2− _10⎦
⎤=⎣
⎡− _22−ある32ある1ある2ある1ある3ある1ある2− _12−ある32ある2ある3ある1ある3ある2ある3− _12−ある22⎦
⎤=⎣
⎡ある12ある1ある2ある1ある3ある1ある2ある22ある2ある3ある1ある3ある2ある3ある32⎦
⎤−⎣
⎡ある12+ある22+ある32000ある12+ある22+ある32000ある12+ある22+ある32⎦
⎤=ああ_T−私
(4.21)
a ∧ aa T = [ 0 − a 3 a 2 a 3 0 − a 1 − a 2 a 1 0 ] [ a 1 a 2 a 3 ] = 0 \begin{aligned}a^{\land}aa ^{T} = \begin{bmatrix}0&-a_3&a_2\\\\a_3&0&-a_1\\\\-a_2&a_1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1\\\\a_2\\\\a_3\end{ bmatrix} = 0 \end{整列}ある∧あ、T=⎣
⎡0ある3− _2− _30ある1ある2− _10⎦
⎤⎣
⎡ある1ある2ある3⎦
⎤=0
a ∧ a ∧ a ∧ = a ∧ ( aa T − I ) = a ∧ aa T − a ∧ = − a ∧ \begin{aligned} a^{\land}a^{\land}a^{\land} &= a^{\land}(aa^{T} - I) \\\\&= a^{\land}aa^{T} - a^{\land} \\\\&= -a^ {\land} \end{整列}ある∧ _∧ _∧=ある∧ (あ、T−私）=ある∧あ、T−ある∧=− _∧
5. 证明：
R p ∧ RT = ( R p ) ∧ ⇔ R p ∧ = ( R p ) ∧ R 。⇔ ∀ u ∈ R 3 R p ∧ u = ( R p ) ∧ R u ⇔ ∀ u ∈ R 3 R ( p × u ) = ( R p ) × ( R u ) \begin{aligned}&\;\; \;\;\;Rp^\land R^T = (Rp)^\land \\\\ &\Leftrightarrow Rp^\land = (Rp)^\land R. \\\\ &\Leftrightarrow \forall u \in R^3 \;\;\;\;\;Rp^\land u = (Rp)^\land Ru \\\\ &\Leftrightarrow \forall u\in R^3 \;\;\;\ ;\;R(p × u) = (Rp)×(Ru) \end{aligned}Rp _∧R _T=(ルピー)∧⇔Rp _∧=(ルピー)∧ R.⇔∀ぅ∈R3Rp _∧あなた=(ルピー)∧るう_⇔∀ぅ∈R3R ( p×う）=(ルピー)×(るう) _
最後の式は、ベクトル外積の回転変換不変性を使用します。
3 次元幾何学の観点から: v 、uv、uv 、uは任意の 2 つの 3 次元ベクトル、( v × u ) (v × u)( v×u )はv 、 uv 、 u の合計ですv 、u 都垂直、大小为 ∣ v ∣ ∣ u ∣ s i n ( u , v ) ∣v∣∣u∣sin(u,v) ∣v∣∣あなた∣s in ( u ,v ) 3 次元ベクトル;v 、 u 、 v × uv,u,v×uv 、あなた、v×u の3 つのベクトルはすべて同じ回転を受け、それらの相対的な姿勢とモジュールの長さは変化しないため、( R v ) (Rv)(Rv) 和 ( R u ) (Ru) ( R u )の外積は依然としてR ( v × u ) R(v×u)R ( v×う）。
6. 証明:
R exp ( p ∧ ) RT = exp ( ( R p ∧ ) ) . R\exp(p^\land)R^T = \exp((Rp^\land))。Rexp ( p∧ )RT=exp (( R p∧ ))。
この式はSO ( 3 ) SO(3)と呼ばれます。SOの随伴プロパティ( 3 )。同様に、 SE ( 3 ) SE(3)ではSE ( 3 )には随伴プロパティもあります
T exp ( ξ ∧ ) T − 1 = exp ( ( A d ( T ) ξ ) ∧ ) , T\exp(\xi^\land)T^{-1} = \exp((Ad(T) \xi)^\land)、T経験値( ξ∧ )T− 1=exp (( A d ( T ) ξ )∧ )、
の：
A d ( T ) = [ R t ∧ R 0 R ] 。Ad(T) =\begin{bmatrix}R&t^\land R\\\\0&R\end{bmatrix}。A d ( T )=⎣ ⎡R0t∧R _R⎦ ⎤。
exp ( ( R p ) ∧ ) = exp ( R p ∧ RT ) = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ( R p ∧ RT ) n = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ( R p ∧ RT ) ⋅ ( R p ∧ RT ) ⋅ ⋅ ⋅ ( R p ∧ RT ) ( RTR = I ) = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! R ( p ∧ ) n RT = R ⋅ ( ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ( p ∧ ) n ) RT = R ⋅ exp ( p ∧ ) RT \begin{aligned}\exp((Rp)^\land ) &= \exp(Rp^\land R^T) \\\\&=\sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{n!}(Rp^\land R^ T)^n \\\\&=\sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{n!}(Rp^\land R^T)·(Rp^\land R^ T)···(Rp^\land R^T) \\\\&\;\;\;\;\;(R^TR = I) \\\\&=\sum\limits_{n = 0 }^{\infty}\frac{1}{n!}R(p^\land)^n R^T \\\\&=R·(\sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}(p^\land)^n)R^T \\\\&=R·\exp(p^\land)R^T \end{aligned}exp (( Rp )∧ )=exp ( R p∧R _た）=n = 0∑∞ん！1( R p∧R _た）n=n = 0∑∞ん！1( R p∧R _た)⋅( R p∧R _た）⋅⋅⋅( R p∧R _た）( RT R=私）=n = 0∑∞ん！1R ( p∧ )n RT=R⋅ _(n = 0∑∞ん！1( p∧ )n )RT=R⋅ _exp ( p∧ )RT
7. 左側の外乱の導関数に従って、右側の外乱の下で SO(3) と SE(3) の導関数を導出します。
SO の右外乱による導関数(3)
右外乱Δ R \Delta Rを仮定します。Δ Rに対応するリー代数はϕ \phiϕ、ϕ \phiϕの導出
∂ ( R p ) ∂ φ = lim φ → 0 exp ( ϕ ∧ ) exp ( φ ∧ ) p − exp ( ϕ ∧ ) p φ = lim φ → 0 exp ( ϕ ∧ ) ( I + φ ∧ ) p − exp ( ϕ ∧ ) p φ = lim φ → 0 exp ( ϕ ∧ ) ⋅ φ ∧ p φ = lim φ → 0 R φ ∧ p φ = lim φ → 0 ( R φ ) ∧ ⋅ ( R p ) φ = lim φ → 0 − ( R p ) ∧ ⋅ ( R φ ) φ = − ( R p ) ′ ⋅ R \begin{aligned}\frac{\partial(Rp)}{ \partial\varphi}&=\lim_{\varphi\rightarrow0}\frac{\exp(\phi^\land)\exp(\varphi^\land)p - \exp(\phi^\land)p}{ \varphi} \\\\&=\lim_{\varphi\rightarrow0}\frac{\exp(\phi^\land)(I + \varphi^\land)p - \exp(\phi^\land)p }{\varphi} \\\\&=\lim_{\varphi\rightarrow0}\frac{\exp(\phi^\land)·\varphi^\land p}{\varphi} \\\\&=\ lim_{\varphi\rightarrow0}\frac{R\varphi^\land p}{\varphi} \\\\&=\lim_{\varphi\rightarrow0}\frac{(R\varphi)^\land·(Rp )}{\varphi} \\\\&=\lim_{\varphi\rightarrow0}\frac{-(Rp)^\land·(R\varphi)}{\varphi} \\\\&=-(Rp)^{'}·R \end{aligned }∂ φ∂ ( Rp )=φ → 0リムファイexp ( ϕ∧ )exp ( f∧ )p−exp ( ϕ∧ )p=φ → 0リムファイexp ( ϕ∧ )(私+ファイ∧ )p−exp ( ϕ∧ )p=φ → 0リムファイexp ( ϕ∧ )⋅ファイ∧p _=φ → 0リムファイRφ _∧p _=φ → 0リムファイ( Rφ )∧ ⋅(ルピー)=φ → 0リムファイ− ( Rp )∧ ⋅( Rφ )=− ( Rp )⋅ _R
SE(3) 右外乱の下での導関数。右外乱をΔ T \Delta Tとします。Δ Tに対応するリー代数はδ ξ = [ δ ρ , δ ϕ ] T \delta\xi = [\delta \rho,\delta\phi]^T です。dx _=[ d r 、d ϕ ]T
∂ ( T p ) ∂ δ ξ = lim δ ξ → 0 exp ( ξ ∧ ) exp ( δ ξ ∧ ) p − exp ( ξ ∧ ) p φ = lim δ ξ → 0 exp ( ξ ∧ ) ( I + δ ξ ∧ ) p − exp ( ξ ∧ ) p δ ξ = lim δ ξ → 0 exp ( ξ ∧ ) ⋅ δ ξ ∧ p δ ξ = lim δ ξ → 0 [ R t 0 1 ] [ δ ϕ ∧ δ ρ 0 1 ] p δ ξ = lim δ ξ → 0 [ R δ ϕ ∧ p + R δ ρ 0 ] δ ξ = lim δ ξ → 0 [ − ( R p ) ∧ ( R δ ϕ ) + R δ ρ 0 ] [ δ ρ , δ ϕ ] T = [ R − ( R p ) ∧ R 0 T 0 ] \begin{aligned}\frac{\partial(Tp)}{\partial\ delta\xi}&=\lim_{\delta\xi\rightarrow0}\frac{\exp(\xi^\land )\exp(\delta\xi^\land)p - \exp(\xi^\land) p}{\varphi} \\\\&=\lim_{\delta\xi\rightarrow0}\frac{\exp(\xi^\land)(I + \delta\xi^\land)p - \exp( \xi^\land)p}{\delta\xi} \\\\&=\lim_{\delta\xi\rightarrow0}\frac{\exp(\xi^\land);\delta\xi^\land p}{\delta\xi} \\\\&=\lim_{\delta\xi\rightarrow0}\frac{\begin{bmatrix}R&t\\\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\delta\phi^\land&\delta\rho\\\\0&1\end{bmatrix}p}{\delta\xi} \\\\&=\lim_{\ delta\xi\rightarrow0}\frac{\begin{bmatrix}R\delta\phi^\land p+R\delta \rho\\\\0\end{bmatrix}}{\delta\xi} \\\\ &=\lim_{\delta\xi\rightarrow0}\frac{\begin{bmatrix}-(Rp)^\land(R\delta\phi)+R\delta \rho\\\\0\end{bmatrix} }{[\delta\rho,\delta\phi]^T} \\\\&=\begin{bmatrix}R&-(Rp)^\land R\\\\0^T&0\end{bmatrix} \end {整列}0\end{bmatrix} \end{aligned}0\end{bmatrix} \end{aligned}∂ δ ξ∂ ( Tp )=δ ξ → 0リムファイ経験値( ξ∧ )exp ( δ ξ∧ )p−経験値( ξ∧ )p=δ ξ → 0リムdx _経験値( ξ∧ )(私+dx _∧ )p−経験値( ξ∧ )p=δ ξ → 0リムdx _経験値( ξ∧ )⋅dx _∧p _=δ ξ → 0リムdx _⎣ ⎡R0t1⎦ ⎤⎣ ⎡d ϕ∧0ドル_1⎦ ⎤p=δ ξ → 0リムdx _⎣ ⎡Rdφ _ _∧p _+Rdr _ _0⎦ ⎤=δ ξ → 0リム[ d r 、d ϕ ]T⎣ ⎡− ( Rp )∧ (Rδϕ)+Rdr _ _0⎦ ⎤=⎣ ⎡R0T− ( Rp )∧R _0⎦ ⎤