Visual SLAM 事前に知っておきたい数学の基礎を14回講義

1. 直交行列

定義: n 次行列 A が AA ^T =A ^{T A=I を満たすと仮定すると、A は}正交矩阵
プロパティと呼ばれます:
以下は手書きであり、小さい文字は見苦しいですが、ご容赦ください。。

2. 線形関係

定義: 2 つの変数間に線形関数関係がある場合、それらの間に線形関係があると言われます。比例関係は線形関係の特殊なケースであり、反比例関係は
線形関係ベクトルの線形関係ではありません。

注:ここでは、私たちが理解している次の線形関係が関数線形関係とベクトル線形関係に分けられることを主に説明します。SLAM ではベクトルの線形関係を使用しているため、ここでは主にベクトルの線形相関と無関連性を理解します。ここで私はベクトルの線形相関を$\vec{b}=k\overrightarrow{ある}$、これは関数内の比例関係です。

3. 逆行列を求めます

定義:行列$あ\in F^{m\times n}$ 、 B ∈ F が存在する場合$B\in F^{m\times n}$，得$AB\_={私}_{}\in F^m$ ,しかも$BA={私}_{}\in F^n$、それは$A$は可逆的で、$B$为$A$の逆行列は、A − 1 A^{-1}とも表されます。${あ}^{-1.}$逆
行列がユニーク！！！
最も単純な 2 つの方法を次に示します。
方法 1:未決定係数法

方法 2:基本的な行変換
既知の行列$A$と対応する次元の単位$I$、最初に拡張行列$A|I$の場合、$A\; は$ガウス消去法を実行し、$A$が消去されている間、単位行列 I も$A$を単位行列、$A$の隣の単位行列もAAになります$A$の逆行列。
この部分を詳しく紹介しているブロガーが 2 人います。
https://blog.csdn.net/daduzimama/article/details/120509856
https://zhuanlan.zhihu.com/p/422839754

4. 外積

外積 (外積) は、ベクトル積(ベクトル積)とも呼ばれ、
空間内に 2 つのベクトルを持ちます: $\overrightarrow{ある}=({\times }_{}、y_{}、z_{})$，$\vec{b}=({\times }_{}、y_{}、z_{})$，$\overrightarrow{ある}$⃗ $\vec{b}$間の角度は$\theta$。
从代数角度计算：
$$\overrightarrow{ある}\times \vec{b}=(y_{}{z}_{}-z_{}{y}_{}、z_{}{バツ}_{}-{バツ}_{}{z}_{}、{バツ}_{}{y}_{}-y_{}{バツ}_{})$$は幾何学的に計算されます
:(n ⃗ \vec{n}$\vec{n}$文$\overrightarrow{ある}$⃗ $\vec{b}$平面の単位ベクトル)
$$\overrightarrow{ある}\times \vec{b}=|\overrightarrow{ある}||\vec{b}|sin\theta \vec{n}$$
演算の結果は、 2 つのベクトルに垂直なベクトルであり、2 つのベクトルが位置する平面の法線ベクトルです。右手の法則を使用して方向を決定します。

幾何学的意味:
ベクトル$\overrightarrow{ある}$そして$\vec{b}$辺に平行四辺形を作成すると、これら 2 つのベクトルの外積の係数は、平行四辺形の面積に等しくなります。

参考記事： https: //zhuanlan.zhihu.com/p/148780358

5. 非対称行列

定義: AAにしましょう$あはん$_$n$次元正方行列、${あ}^T=-A$、次に行列$A$は非対称行列。
非対称行列の場合、主対角線上の要素はすべて 0 であり、主対角線の両側の対称要素は反対の符号を持ちます。
非対称行列には、$A\; が$反対称行列である場合、${あ}^T、\lambda A$は反対称行列です。A 、 BA、B
の場合$あ、B$が反対称行列の場合、$あ\pm B$も反対称行列です。AAと
します$A$は反対称行列、$B$が対称行列の場合、$AB\_-BA$は対称行列です。
奇数次の非対称行列の行列式は 0 でなければなりません。非対称行列の固有値は 0 または純虚数であり、純虚数に対応する固有ベクトルの実数部と虚数部は等しい長さの実数ベクトルを形成し、互いに直交します。
自然：

6. 複数形

複素数は実数部と虚数部で構成されます。複素数を加算する場合は、実数部と実数部を加算し、虚数部と虚数部を加算します。複素数を乗算する場合は、i 2 = 1 i^2 =1 を使用します${私}^2=1$ .
複素数の紹介については、質の高い記事を見つけました:https://zhuanlan.zhihu.com/p/94300315
ここでは主に複素数に存在する演算、$q_{}=ある+ビ、q_{}=c+d$
方程式$q\; 1\; +\; q\; 2\; =\; (\; a\; +\; bi\; )\; +\; (\; c\; +\; di$加法 ) = ( a + c ) + ( b + d ) i q_1+q_2=(a+bi)+( c
$$q_{}+q_{}=(\_+ビ）+(c+ディ）\_=(\_+c)+(b+d)i$$
無限小q 1 + q 2 = ( a + bi ) − ( c + di ) = ( a − c ) + ( b − d ) i q_1+q_2=(a+bi)-(c+ 减法di
$$q_{}+q_{}=(\_+ビ）-(c+ディ）\_=(\_-c)+(b-d)$$
複素数$$i$$ q 1 q 2 ( a + bi ) ( c + di ) = ( ac − bd ) + ( bc + ad ) i q_1q_2(a+bi)(c+di)=(ac-bd) の乘法演算
$$q_{}{q}_{}(\_+ビ）（c+ディ）\_=(ac-bd)+(bc+ad)$$ ∣ q 1 ∣ = a 2 + b 2 , ∣ q 2 ∣ = c 2 + d 2 , ∣ q 1 q 2 ∣ = ∣ q 1 ∣ ∣ q 2 ∣ |q_1|=\ $$\{$$
sqrt模长
$$|q_{}|=\sqrt{{ある}^2+b^2}、|q_{}|=\sqrt{c^2+d^2}、|q_{}{q}_{}|=|q_{}||q_{}|$$

複素数 の共轭
共役複素数で、2つの実数部が等しく、虚数部が逆になっている複素数を共役複素数（共役複素数）と言います。虚数部が 0 でない場合、共役複素数は実数部と等しく、虚数部はその逆になります。虚数部が 0 の場合は、共役複素数そのものです (虚数部が 0 でない場合、共役虚数とも呼ばれます)。複素数 z の複素共役は$z$ (プラスバー)、$Z*$。また、複数形の$z$ (バーを追加) は、複素数 z の複素共役と呼ばれます。

複素数逆:
$$q^{-1}=q^{\ast }/|q{|}^2$$
この定義によれば、$qq{\_}^{-1}=q^{-1q}\_=1$

この知識は現時点で知っておくと、3回目でも使えます。