目次
1 フィッティング方法の概要
補間問題とは異なり、フィッティング問題では、曲線が特定の点を通過する必要はありません。フィッティング問題の目的は、曲線が特定の基準の下ですべてのデータ ポイントに最も近くなるような関数 (曲線) を見つけることです。つまり、曲線が最もよく適合する (損失関数を最小化する) ことです。
小さな例
data1.xlsxx と y の値を保存する既存のファイルがあるので、Matlab を使用して次のようにグラフを描画します。
❗️注意:
- Matlab にデータをインポートするとき、x と y の 2 つの変数をそれぞれ作成しました。各変数は 1 列のデータのみを保存し、変数をファイルに保存しました
data1.mat。
それでは次に、フィッティング曲線をどのように決定するのでしょうか?
- サンプルを Matlab に送信して画像を描画します
2 最小二乗法
2.1 最小二乗幾何学的解釈
2.2 最小二乗法による解法
Matlab を使用して最小二乗を解く
3 アルゴリズムの評価
フィッティングが完了した後、フィッティングの品質をどのように評価すればよいでしょうか?
パラメータに対して線形な関数を決定するにはどうすればよいでしょうか?
- 関数では、パラメータは 1 のべき乗の形式でのみ表示され、他のパラメータで乗算または除算することはできません。また、
パラメータの複合関数形式も表示できません。
❗️注意:
- 多変量関数のフィッティング効果は単変量関数のフィッティング効果よりも優れている可能性がありますが、フィッティング関数は可能な限り単純である必要があります。たとえば、極端な場合には多項式補間が使用され、SSE は明らかに 0 になりますが、これはフィッティングを使用するという本来の目的と矛盾します。
Matlab を使用して適合度を計算する
4 コードの書き方
最小二乗法を使用して k と b を求めます
clear;clc
load data1
plot(x,y,'o')
% 给x和y轴加上标签
xlabel('x的值')
ylabel('y的值')
n = size(x,1);
k = (n*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))
b = (sum(x.*x)*sum(y)-sum(x)*sum(x.*y))/(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x))
hold on % 继续在之前的图形上来画图形
grid on % 显示网格线
% 画出y=kx+b的函数图像 plot(x,y)
% 方法一：传统的画法：模拟生成x和y的序列，比如要画出[0,5]上的图形
% xx = 2.5: 0.1 :7 % 间隔设置的越小画出来的图形越准确
% yy = k * xx + b % k和b都是已知值
% plot(xx,yy,'-')
% 方法二：匿名函数的基本用法。
% handle = @(arglist) anonymous_function
% 其中handle为调用匿名函数时使用的名字。
% arglist为匿名函数的输入参数，可以是一个，也可以是多个，用逗号分隔。
% anonymous_function为匿名函数的表达式。
% 举个小例子
% z=@(x,y) x^2+y^2;
% z(1,2)
% % ans = 5
% fplot函数可用于画出匿名一元函数的图形。
% fplot(f,xinterval) 将匿名函数f在指定区间xinterval绘图。xinterval = [xmin xmax] 表示定义域的范围
f=@(x) k*x+b;
fplot(f,[2.5,7]);
legend('样本数据','拟合函数','location','SouthEast')
適合度を計算する
y_hat = k*x+b; % y的拟合值
SSR = sum((y_hat-mean(y)).^2) % 回归平方和
SSE = sum((y_hat-y).^2) % 误差平方和
SST = sum((y-mean(y)).^2) % 总体平方和
SST-SSE-SSR % 5.6843e-14 = 5.6843*10^-14 matlab浮点数计算的一个误差
R_2 = SSR / SST
5 カーブフィッター
ここでカーブ フィッターを使用して得られた結果は、前のコードを使用して得られた結果と同じです。
以下では、カーブフィッターを使用して米国の人口を予測します。
❗️ 注意:
- フィッティング関数は線形ではありません
参照コード：
clear;clc
year = 1790:10:2000;
population = [3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4];
plot(year,population,'o')
cftool % 拟合工具箱
% (1) X data 选择 year
% (2) Y data 选择 population
% (3) 拟合方式选择：Custom Equation (自定义方程)
% (4) 修改下方的方框为：x = f(t) = xm/(1+(xm/3.9-1)*exp(-r*(t-1790)))
% (5) 左边的result一栏最上面显示：Fit computation did not converge:即没有找到收敛解，右边的拟合图形也表明拟合结果不理想
% (6) 点击Fit Options，修改非线性最小二乘估计法拟合的初始值(StartPoint), r修改为0.02，xm修改为500
% (7) 此时左边的result一览得到了拟合结果：r = 0.02735, xm = 342.4
% (8) 依次点击拟合工具箱的菜单栏最左边的文件—Generate Code(导出代码到时候可以放在你的论文附录)，可以得到一个未命名的脚本文件
% (9) 在这个打开的脚本中按快捷键Ctrl+S，重命名为createFit.m 将这个文件保存到当前文件夹。
% (10) 在现在这个文件中调用这个函数得到参数的拟合值和预测的效果
[fitresult, gof] = createFit(year, population)
t = 2001:2030;
xm = 342.4;
r = 0.02735;
predictions = xm./(1+(xm./3.9-1).*exp(-r.*(t-1790))); % 计算预测值（注意这里要写成点乘和点除,这样可以保证按照对应元素进行计算）
figure(2)
plot(year,population,'o',t,predictions,'.') % 绘制预测结果图
予測結果グラフ：
6 データのデモンストレーションを自分でシミュレートする
前提知識:
% （1）randi : 产生均匀分布的随机整数（i = int）
%产生一个1至10之间的随机整数矩阵，大小为2x5；
s1 = randi(10,2,5)
%产生一个-5至5之间的随机整数矩阵，大小为1x10；
s2 = randi([-5,5],1,10)
% （2） rand: 产生0至1之间均匀分布的随机数
%产生一个0至1之间的随机矩阵，大小为1x5；
s3 = rand(1,5)
%产生一个a至b之间的随机矩阵，大小为1x5； % a + (b-a) * rand(1,5); 如：a,b = 2,5
s4= 2 + (5-2) * rand(1,5)
% （3）normrnd:产生正态分布的随机数
%产生一个均值为0，标准差（方差开根号）为2的正态分布的随机矩阵，大小为3x4；
s5 = normrnd(0,2,3,4)
% （4）roundn—任意位置四舍五入
% 0个位 1十位 2百位 -1小数点后一位
a = 3.1415
roundn(a,-2) % ans = 3.1400
roundn(a,2) % ans = 0
a =31415
roundn(a,2) % ans = 31400
roundn(5.5,0) %6
roundn(5.5,1) %10
ランダムなサンプルを生成し、カーブ フィッターを使用してそれらをフィッティングします。
clear;clc
x = rand(30,1) * 10; % x是0-10之间均匀分布的随机向量（30个样本）
y = 3 * exp(0.5*x) -5 + normrnd(0,1,30,1);
% cftool