連続円形アレイ均一加重ビームパターン—マイクアレイシリーズ（9）

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コンテンツには次のものが含まれます。

1.連続リングアレイビームフォーマーの導出;

2.連続円形アレイビーム応答、波数半径積 $kr$ 、および垂直角が ビームに与える影響を観察 $\ phi$ します。

3.一種のベッセル機能特性。

1.連続リングアレイビームフォーマーの導出

連続的なリングアレイについて、半径を有する連続的なリングアレイ考える φのを $r$ 、そして上に置き $ねえ$ 、図1に示すように、座標原点としてリングの中心と、平面。

図1

連続円形アレイ上の各受信ポイント $P _ {vartheta$ のアレイマニホールド関数は、次のように表すことができます。

$p_ \ vartheta（\ bold k）= e ^ {-i \ bold k ^ TP_ \ vartheta} = e ^ {ikrsin \ phi cos \ left（\ vartheta- \ theta \ right）}$

$P _ {vartheta$ 点極座標形式は $\ left（r、\ vartheta \ right）$ 、長方形座標形式は $\ left [rcos \ vartheta、rsin \ vartheta、0 \ right] ^ T$ 、

$\ bold k = -k \ left [sin \ phi cos \ theta、sin \ phi sin \ theta、cos \ phi \ right] ^ T、k = \ omega / c$

$P _ {vartheta$ ポイントの重み関数が取られると仮定すると $w ^ * _ a \ left（\ vartheta \ right）$ 、ビーム応答は次のようになります。 $\ begin {align} \\＆B（kr、me Omega）= \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {2 \ pi} ^ {0} w ^ * _ a \ left（\ vartheta \ right）e {ikrsin \ phi cos（\ vartheta- \ theta）} d \ vartheta \\＆\ quad \ quad \ quad \ \ \ = J_0（krsin \ phi）\ end {align$

フォームは一種の0次ベッセル関数です。3番目のセクション「一種のベッセル関数の特性」では、この関数について詳しく説明し、その特性を調べます。

2.連続円形アレイビーム応答、波数半径積 $kr$ 、および垂直角がビームに与える影響を観察 $\ phi$ します

連続円形アレイを検討し、均一な重み付けを使用した場合に得られるビーム応答を計算します。

波数半径の積であると仮定すると $kr = 2 \ pi$ 、聞かせて $\ theta \ in [0 ^ \ circ、360 ^ \ circ]、\ phi \ in [0 ^ \ circ、180 ^ \ circ]$ 、上記ビームの応答の計算式を用いて、その振幅は、図2に示されている。三次元座標における2。

図23次元ビーム応答

図2から、均一な重み付けによって得られたビーム応答 $と$ は、軸に対して回転対称であることがわかります。つまり、ビーム応答は垂直角にのみ関係し、水平角 $\ phi$ と $\ theta$ は関係ありません。したがって、以下では、垂直角度に関して均一に重み付けされたビームパターンの関係を描画するだけで済みます。

波数半径製品の範囲と仮定 $kr \ in [0,10]$ 及び垂直角度の値の範囲を $\ phi \ in [0 ^ \ circ、180 ^ \ circ]$ 、波数半径製品に対するビーム応答ビーム応答の計算式により算出された相対 $kr$ および垂直角度は $\ phi$ 、図3のビーム応答振幅が対数後の色であり、図3に示されています図4に、ビーム応答振幅の円筒座標表示を示します。

画像3

図4

ビーム応答をよりよく観察するために、図6は、リングアレイに垂直な平面（ $と$ 軸が配置されている平面）上の全 $360 ^ \ circ$ 範囲のビーム応答を補完します。図6は $kr = 2,4,6,8$ 、4つの図の対応するビーム応答極座標表示図を示しています。

図6.1

図6.2

図6.3

図6.4

図3、4、5、および6から、均一に重み付けされた円形リングアレイが、円形リングに垂直な方向、つまりビームのメインローブの方向 $\ phi = 0 ^ \ circ$ と $\ phi = 180 ^ \ circ$ 方向にメインローブを取得していることがわかります。 $kr = 0$ ビーム応答が単位円の場合、つまり指向性がない場合、周波数が高くなると、ビームのメインローブが徐々に狭くなります。

3.ベッセル機能の一種の特徴

一 $n$ 次ベッセル関数は次のように定義されます。

$J_n（z）= \ frac {1} {2 \ pi i ^ n} \ int_ {0} ^ {2 \ pi} e ^ {i（zcos \ psi + n \ psi）} d \ psi、\ quad n = 0、\ pm1、\ pm2、..。$

$J _ {-n}（z）=（-1）^ nJ_n（z）$

図7は、 $0 \ sim 4$ 次数ベッセル関数のグラフを示しています。この図から、次数 $n$ が増加するにつれて、ベッセル関数の最大振幅が $max \ left | J_n（z）\ right |$ 徐々に減少することがわかります。

図7

均一に重み付けされた連続円形アレイのビーム応答は、0次ベッセル関数であり、これは連続線形アレイのビーム応答に対応すると上記で推定されています。 $sinc$ 前の記事で述べたように $バツ$ 、平面上の長さの連続線形配列のビーム応答は次のとおりです。

$B（kr、\ Omega）= sinc \ left（k \ frac {2} {L} sin \ phi \ right）$

これは、線形配列の長さが $L$ 円形リング配列の直径に $2r$ 等しい場合 $sinc$ 、2つの連続配列のビーム応答引数が等しく、前者が関数であり、後者が0次ベッセル関数であることを示しています。

図８は $J_0（z）$ 、図８ $sinc（z）$ の $と$ 比較値に関して機能している２つの変数を示している。図から、 $z = 0$ 2つの関数が両方とも1であることがわかります。これは、ビームのメインローブ応答が1、つまり、であることを示しています $0dB$ 。 $z = 0$ ポイントを除いて、 0次ベッセル関数の $sinc$ ピークと谷の振幅は関数のピークと谷の振幅よりも大きく、これは連続円形アレイのビームサイドローブが連続線形アレイよりも高いことを示しています。ただし、連続円形アレイのメインローブの幅は、連続線形アレイの幅よりも狭くなっています。

図8

参考書：

「アレイ信号処理の最適化」、Yan Shefeng