均一線形アレイの従来のビーム形成原理-マイクアレイシリーズ（4）

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前回の記事に続いて、この記事は内容を含めて学習を続けます。

均一線形アレイにおける従来のビームフォーミングの原理の概要

例3.4均一ラインアレイの従来のビームパターン

次の図に示す座標系を使用します。

図1均一な線形配列座標系

この座標系で $M$ は、均一に分布した配列要素で構成される線形配列を想定し、配列要素間の距離を、と仮定する $d$ と、線形配列の全長は $L = Md$ です。ここで線形配列の長さを計算する場合、両端の配列要素は外側 $\ frac {d} {2}$ に拡張され、均一な線形配列は元の連続配列の空間サンプリングと同等です。

各配列要素の位置は、次のように表すことができます。

$p_m = \ left [0、\ left（m- \ frac {M + 1} {2} d \ right）、0 \ right]、m = 1、...、M$

各配列要素の重み係数を使用して、連続線形配列と見なされる場合の重み関数を表します。

$w ^ * _ a（y）= \ sum_ {m = 1} ^ {M} {w ^ * _ m \ delta \ left（y- \ left（m- \ frac {M + 1} {2} \ right）d \正しい）}$

その中で、 $w ^ * _ m$ は最初の要素の重み係数であり、 $\ delta \ left（\ cdot \ right）$ は $クロネッカー$ 関数です。

$クロネッカー$ 機能は次のとおりです。

$\ delta_ {ij} = \ left \ {\ begin {aligned}＆1、\ quad i = j \\＆0、\ quad i \ ne j \ end {aligned} \ right。$

前の章で説明したように、 $と$ 軸上に配置された連続線形アレイの周波数-波長応答が次のようになっていると仮定します。

$Y \ left（\ omega、k_z \ right）= \ int _ {-\ frac {L} {2}} ^ {\ frac {L} {2}} w ^ * _ a（z）e ^ {-ik_zz} dz$

上記の式は $Y$ 、シャフトの均一に分散された配列に置き換えられます。

$\ begin {align} \\ Y \ left（\ omega、k_y \ right）＆= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \ sum_ {m = 1} ^ {M} {w ^ * _ m \ delta \ left（y- \ left（m- \ frac {M + 1} {2} \ right）d \ right）} e ^ {-ik_yy} dy \\ \ quad＆= \ sum_ {m = 1} ^ { M} {w ^ * _ me ^ {-i \ left（m- \ frac {M + 1} {2} \ right）k_yd}} \\ \ quad＆= \ sum_ {m = 1} ^ {M} { w ^ * _ me ^ {i \ left（m- \ frac {M + 1} {2} \ right）kdsin \ theta}} \\ \ end {align}$

ビーム応答フォームを次のように変更します。

$B \ left（\ theta \ right）= \ sum_ {m = 1} ^ {M} {w ^ * _ me ^ {i \ left（m- \ frac {M + 1} {2} \ right）kdsin \ theta }}$

まだこの均一な線形配列座標系に基づいて、配列の人気のあるネックレスは次のとおりです。

$\ bold p（\ theta）= \ left [e ^ {i \ frac {1-M} {2} kdsin \ theta}、...、e ^ {i \ left（m- \ frac {M + 1} {2} \ right）kdsin \ theta}、...、e ^ {i \ frac {M-1} {2} kdsin \ theta} \ right] ^ T$

ビーム応答は次のように表すことができます。

$B \ left（\ theta \ right）= \ bold w ^ H \ bold p \ left（\ theta \ right）$

ビームポインティング角度がで $\ theta _o$ あり、ビーム重みベクトルが次のとおりであると仮定して、均一線形アレイで従来のビームフォーミングを実行します。

$\ bold w_c = \ frac {\ bold p \ left（\ theta_o \ right）} {M}$

上記の式を代入すると、ビーム方向応答は次のように計算できます。

$\ begin {align} B \ left（\ theta \ right）＆= \ frac {\ bold w ^ H_c \ bold p \ left（\ theta_o \ right）} {M} \\＆= \ frac {\ bold p ^ H \ left（\ theta_o \ right）\ bold p \ left（\ theta \ right）} {M} \\＆= \ frac {sin \ left（Mkd \ left（sin \ theta-sin \ theta_o \ right）/ 2 \ right）} {Msin \ left（kd \ left（sin \ theta-sin \ theta_o \ right）/ 2 \ right）} \ end {align}$

例3.4均一ラインアレイの従来のビームパターン

ビーム観測方向をと仮定して、 $\ theta_o = 0 ^ \ circ$ 従来のビームフォーミングで得られたビーム応答を計算します。配列要素の数が $M = 10$ 、つまり配列要素の間隔であると仮定します $d = \ frac {L} {M} = \ frac {\ lambda} {2}$ 。上で計算したビームフォーミング式を使用して、ビーム応答を計算します。

図2均一ラインアレイの従来のビーム図

添付の実装コードは次のとおりです。

c=340;       %声速
theta_d = 0*pi/180; %入射角度
f=1000;      %频率
space=c/f/2;  %麦克风间距
M=10;         %麦克风数量
theta_angle=0:0.1:360;
theta=theta_angle*pi/180;    
B=sin((M*pi*f*space*(sin(theta)-sin(theta_d)))/c)...
    ./(M*sin((pi*f*space*(sin(theta)-sin(theta_d)))/c));
B_db = 20*log10(B);
limit_dB = -50;
index = B_db < limit_dB;
B_db(index) = limit_dB; 
plot(theta_angle, B_db, 'linewidth', 1.5);
grid on;
title('均匀线阵列常规波束响应');
xlabel('\theta/(\circ)');ylabel('20lg|B(\theta)|/dB');
figure;
GraphicHandle = polar(theta, B_db);
set( GraphicHandle, 'LineWidth', 1.5);

参考書：

「アレイ信号処理の最適化」

均一線形アレイの従来のビーム形成原理-マイクアレイシリーズ（4）

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